Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 25
Os apoios A e B da coluna biarticulada mostrada estão fixos a uma distância L, um do outro. Sabendo-se que em uma temperatura T0 a força na coluna é zero, e que a flambagem ocorre quando a temperatura é T1=T0+, pede se para expressar em termos de b, L e do coeficiente de expansão térmica .
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Passo 1
Faala aí, sei que a primeira coisa que qualquer um pensa ao ver temperatura misturado com flambagem é : O que diabos está acontecendo aqui? Como relacionar a variação de temperatura com o resto da geometria? Bom fica tranquilo que a gente vai analisar tudo juntos.
A coluna inicialmente não tinha nenhuma força aplicada mas ao receber um incremento de temperatura sofre flambagem. O que rolou aqui foi o seguinte, a coluna foi aquecida e se dilatou, lembra lá da física? Essa dilatação térmica gerou um deslocamento axial .
Porém os apoios não permitem que isso aconteça e reagiram ao deslocamento com um esforço axial para deslocar o mesmo no sentido oposto, o que provocou a flambagem.
Se esse peso indicado na figura é o que causa a flambagem podemos dizer que:
Com isso podemos usar a fórmula da dilatação linear e relacionar a variação de temperatura com o peso crítico e outras dimensões que queremos.
Passo 2
Vamos a fórmula da dilatação linear, temos que:
Onde é o comprimento inicial da coluna, é o coeficiente de dilatação térmica e é a variação de temperatura.
A gente tem também do deslocamento axial que:
E como foi falado os apoios não permitem deslocamento sendo assim, os dois deslocamentos são idênticos um tenta expandir e o outro comprime e assim:
Rearrumando:
Onde:
E
Substituindo:
Ainda não terminado precisamos abrir a fórmula do peso crítico para cumprir o que o enunciado pede que é em relação a , e . (Detalhe que o enunciado chama a aresta de b e na figura está cotada como d, aqui usaremos d.)
Passo 3
A fórmula do peso crítico é dada por:
Nesse caso de seção quadrada temos:
Daí fica:
Voltando a nossa equação:
Substituímos o peso crítico e enfim encontramos a relação: