Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 159
Assumindo que o eixo do Prob. 7.158 é vazado e que o diâmetro interno é metade do diâmetro externo, determinar o menor diâmetro externo permissível para o eixo.
Passo 1
Fala aí, galera! Essa questão faz um pedido bem simples, achar o diâmetro do nosso eixo! Para fazer isso vamos ter que utilizar a seguinte equação:
Onde é o momento polar de inércia é o raio, o momento fletor e a torção, além disso temos também a máxima tensão de cisalhamento admissível .
Assim, a gente tem que calcular basicamente a torção e o momento fletor no eixo e, portanto, achar as forças que atuam nos pontos e , então partiu?
Passo 2
Vamos começar fazendo um desenho do nosso eixo com todas as forças que atuam sobre ele:
Agora vamos partir para as equações da estática.
Repare que não existem forças em porque não há resistência nessa direção.
Resolvendo:
Para as forças em :
Galera, mas quanto vale a força ? A gente pode achar essa força calculando o valor do torque na seção do eixo. Vamos calcular por cima e por baixo e lembrando também que as forças de reação nos pontos e não produzem torque.
Calculando por cima:
Calculando por baixo:
Logo,
Assim vamos ter:
Pessoal, lembram que as forças em e não produzem torque? Por esse motivo o torque das seções e é nulo!!
Passo 3
Agora vamos partir para o cálculo dos momentos no eixo. Vamos calcular sempre o momento em relação ao nosso ponto ok? Onde estão as forças e .
Para o momento na direção em relação ao ponto :
Agora o momento em em relação ao ponto :
Pessoal, podemos parar por aqui! Já que achamos todas as forças que atuam no nosso eixo . Olha só!
Dessas equações a gente vai ter que:
Passo 4
Agora temos de calcular também os momentos fletores de cada seção. Para isso vamos dividir a nossa figurinha em duas, uma mostrando as forças no eixo e outra no eixo .
Para o eixo :
Calculando o momento fletor nos pontos críticos e :
Para o eixo :
Calculando o momento fletor nos pontos críticos e :
Passo 5
Agora vamos aplicar a relação entre torque e tensão cisalhante que é dada por:
Para isso vamos ter que ver qual ponto ou possui o termo maior, testanto:
Para :
Lembrado que a torção em ambos os pontos é igual a
Para :
Logo temos de utilizar o ponto por possuir o termo de maior valor. Assim vamos obter:
Além disso a gente tem que lembrar do momento polar de inércia de eixos:
Como o eixo é vazado a gente vai ter:
Rescrevendo:
Além disso o problema disse que o diâmetro interno é metade do diâmetro externo:
Substituindo na equação:
E
Assim,
Substituindo:
Logo o diâmetro externo será: