Um avião a jato comercial voa a uma velocidade de 1.000 km/h com cada um de seus motores descarregando ar a uma velocidade de 600 m/s em relação ao avião. Determine a velocidade do avião após ele perder o uso de (a) um de seus motores e (b) dois de seus motores. Considere que o arrasto devido à resistência do ar é proporcional ao quadrado da velocidade e que os motores remanescentes continuam operando à mesma taxa.

Passo 1

Essa aqui é uma boa questão envolvendo princípios básicos de aeronáutica. Bom, temos aqui que determinar a velocidade da aeronave quando seus motores falham. A força de tração gerada por cada motor é dada por:

F = d m d t ( u - v )

Onde u é a velocidade de descarga do ar pelos motores e v é a velocidade de cruzeiro da aeronave. A força de arrasto da aeronave é dada por:

D = k v 2

Onde v é a velocidade de cruzeiro da aeronave. Quando a aeronave está em cruzeiro, com todos motores funcionando, podemos dizer que a força de tração total é igual a força de arrasto da aeronave. Assim:

3 F - D = 0 → 3 d m d t u - v 0 - k v 0 2   = 0

d m d t = k v 0 2 3 u - v 0 = k 1000 ÷ 3,6 2 3 600 - 1000 ÷ 3,6 = 79,82 k  

Temos como quantificar a taxa de variação de massa de ar, que é a mesma para os três motores.

Passo 2

Agora, para a gente saber qual é a velocidade da aeronave quando um dos motores falha, vamos fazer o mesmo cálculo do passo 1, agora somente considerando que dois motores ainda funcionam:

2 F - D = 0

2 d m d t u - v 1 - k v 1 2 = 0

2 79,82 k 600 - v 1 - k v 1 2 = 0

v 1 2 + 159,64 v 1 - 95784 = 0

v 1 = 239,80   m / s = 863,27   k m / h

Passo 3

Quando os dois motores falham, temos:

F - D = 0 →   d m d t u - v 2 - k v 2 2 = 0

79,82 k 600 - v 2 - k v 2 2 = 0

v 2 2 + 79,82 v 2 - 47892 = 0

v 2 = 182,54 m / s = 657,15   k m / h

Resposta

  1. 863,27 km/h
  2. 657,15 km/h
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