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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 192

Um barco move-se ao longo de uma trajetória definida por r 2 = 0,9 10 3 cos ⁡ 2 θ   m 2 , onde θ é dado em radianos. Se θ = 0,4 t 2   r a d , onde t é dado em segundos, determine as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração do barco no instante t = 1   s .

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração do barco no instante t = 1   s .

Temos que:

θ = 0,4 t 2

Portanto:

d θ d t = 2 0,4 t d t d t

θ ˙ = 0,8 t

A segunda derivada será:

d θ ¨ d t = 0,8 d t d t

θ ¨ = 0,8   r a d / s 2

Quando t = 1   s , temos:

θ = 0,4 t 2

θ = 0,4 1 2

θ = 0,4   r a d

θ ˙ = 0,8 t

θ ˙ = 0,8 1

θ ˙ = 0,8   r a d / s

θ ¨ = 0,8   r a d / s 2

Passo 2

Analisando agora r , temos:

r 2 = 0,9 10 3 cos ⁡ 2 θ

r = 30 cos ⁡ 2 θ

Temos também que:

d d t r 2 = d d t 900 cos ⁡ 2 θ

2 r d r d t = - 2 900 sin ⁡ 2 θ d θ d t

2 r r ˙ = - 1800 sin ⁡ 2 θ θ ˙

r ˙ = - 900 sin ⁡ 2 θ θ ˙ r

Para descobrir r ¨ , temos que derivar mais uma vez e utilizar a regra do produto:

d d t ( 2 r r ˙ = d d t ( - 1800 sin ⁡ 2 θ θ ˙ )

2 r d r ˙ d t + 2 r ˙ d r d t = - 1800 sin ⁡ 2 θ d θ ˙ d t - 2 1800 cos ⁡ 2 θ θ ˙ d θ d t

2 r r ¨ + 2 r ˙ 2 = - 1800 sin ⁡ 2 θ θ ¨ - 3600 cos ⁡ 2 θ θ ˙ 2

r ¨ = - 900 sin ⁡ 2 θ θ ¨ - 1800 cos ⁡ 2 θ θ ˙ 2 - r ˙ 2 r

Agora é só substituirmos os valores:

r = 30 cos ⁡ 2 ( 0,4 )

r = 25,0407   m

r ˙ = - 900 sin ⁡ 2 θ θ ˙ r

r ˙ = - 900 sin ⁡ 2 ( 0,4 ) 0,8 25,0407

r ˙ = - 20,63   m / s

r ¨ = - 900 sin ⁡ 2 0,4 ( 0,8 ) - 1800 cos ⁡ 2 0,4 0,8 2 - ( 20,63 ) 2 25,0407

r ¨ = - 69,67   m / s 2

Passo 3

Sabemos que:

v r = r ˙ = - 20,63   m / s

v θ = r θ ˙

v θ = ( 25,0407 ) ( 0,8 )

v θ = 20,03   m / s

Passo 4

Para a aceleração, teremos que a componente a r é:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a r = - 69,67 - 25,0407 0,8 2

a r = - 85,7   m / s 2  

A componente a θ é dada por:

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

a θ = 25,0407 0,8 + 2 ( - 20,63 ) ( 0,8 )

a θ = - 12,98   m / s 2

Resposta

v r = - 20,63   m / s

v θ = 20,03   m / s

a r = - 85,7   m / s 2

a θ = - 12,98   m / s 2

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