Enunciado

Uma partícula move-se ao longo de uma espiral de Arquimedes r = 8 θ m , onde θ é dado em radianos. Se θ ˙ = 4   r a d / s (constante), determine as componentes radiais e transversais da velocidade e aceleração da partícula no instante que θ = π / 2   r a d . Trace a curva e mostre as componentes na curva.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

Vamos primeiro fazer as contas para ai sabermos as direções das componentes radiais e transversais da aceleração e velocidade.

Do enunciado, temos que θ ˙ é constante, portanto:

θ ¨ = d θ ˙ d t

θ ¨ = 0

Quando θ = π 2 , temos:

r = 8 θ

r = 8 π 2

r = 4 π   m

Temos também que:

r ˙ = d r d t  

r ˙ = d d t 8 θ

r ˙ = 8 θ ˙

r ˙ = 8 ( 4 )

r ˙ = 32   m / s

E:

r ¨ = d r ˙ d t

r ¨ = d d t 8 θ ˙

r ¨ = 8 θ ¨

r ¨ = 8 ( 0 )

r ¨ = 0   m / s 2

Passo 2

Sabemos que:

v r = r ˙ = 32   m / s

v θ = r θ ˙

v θ = ( 4 π ) ( 4 )

v θ = 50 , 3   m / s

Passo 3

Para a aceleração, teremos que a componente a r é:

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a r = 0 - 4 π 4 2

a r = - 20 1   m / s 2  

A componente a θ é dada por:

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

a θ = 4 π 0 + 2 ( 32 ) ( 4 )

a θ = 256   m / s 2

Passo 4

As componentes estão então retratadas nos diagramas abaixo:

Resposta

v r = 32   m / s

v θ = 50,3   m / s

a r = - 201   m / s 2

a θ = 256   m / s 2

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