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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 1.Problemas - Ex. 41

As barras AB e BE da treliça mostrada são da mesma liga metálica. Sabe-se que uma barra de 20 m m de diâmetro desta mesma liga foi testada até a falha e foi registrada uma carga máxima de 150   k N . Usando um coeficiente de segurança igual a 3,2 determine qual o diâmetro necessário para:

  1. A barra AB
  2. A barra BE

Passo 1

Para determinarmos os diâmetros precisamos lembrar algumas regrinhas básicas.

A primeira informação que ele nós dá é que uma barra de diâmetro D = 20 m m só pode suportar uma carga máxima de P M á x = 150   k N . Com isso podemos determinar a tensão máxima adimissivel na estrutura que será dada por:

σ A D M = P M á x A = P M á x п D 2 4 = 150 п     .     20 2 4 = 0,4775 k N m m 2 = 477,5   M P a

Se temos a tensão admissível, conseguimos relacionar ela com o fator de segurança dado por:

F S = σ A D M σ A p l i c

Já sabemos pelo enunciado que: F S = 3,2 .

Sabemos também que a fórmula que nós da a tensã]o aplicada é dada por:

σ A p l i c = F A p l i c A A p l i c

A força aplicada vamos descobrir daqui a pouco resolvendo a nossa treliça. A área aplicada vai ser exatamente o que vai os ajudar a descobrir o diâmetro da nossa barra, sendo assim podemos escrever que:

σ A p l i c = F A p l i c п D 2 4 = 4 F A p l i c п D 2

Substituindo na nossa fórmula de fator de segurança teremos que:

F S = σ A D M 4 F A p l i c п D 2 = п D 2 σ A D M 4 F A p l i c

E como o nosso objetivo é determinar o diâmetro teremos que:

F S = п D 2 σ A D M 4 F A p l i c

п D 2 σ A D M = 4 F A p l i c F S

D 2 = 4 F A p l i c F S п σ A D M

Sabemos que:

F S = 3,2

σ A D M = 0,4775 k N m m 2

Perceba que comos estamos usando a tensão admissível em K N / m m 2 , significa que a nossa força aplicada tem que ser em k N e o diâmetro vai sair em m m , sendo assim substituindo os valores teremos que:

D 2 = 4 F A p l i c   .     3,2 п   .     0,4775 = 8,53 F A p l i c

D = 2,92 F A p l i c

Ou seja, temos uma formulazinha pra calcular o diâmetro, e só precisamos definir a força que age na nossa treliça, e achando as forças conseguimos definir de boas os diâmetros.

Passo 2

Bora resolver agora a nossa treliça, e para isso usaremos os dois seguintes métodos:

  • Seção de Richter para a barra AB

    • Perceba que se fizermos o somatório de momentos em torno do ponto D, sumiremos com os normais da barra BD e DE, e ainda sumimos coma carga de 150, sendo assim teremos que:

    N A B 0,9 - 75   .   1,2 = 0

    N A B = 75   .   1,2 0,9 = 100   k N

  • Equilíbrio do nó E

    • Decompondo os vettores teremos que:

    N B E y = N B E S E N θ

    Perceba que para determinar o seno do ângulo, precisamos das barras BD e BE, e com isso teremos que:

    S E N θ = 0,9 1,2 = 0,60

    Fazendo o equilíbrio teremos que:

    N B E 0,60 = 75

    N B E = 125   k N

    Sendo assim os normais da nossa barra seram dados por:

    N A B = 100   k N

    N B E = 125   k N

    Passo 3

    Agora é tranquilo, se o nosso objetivo é determinar o diâmetro das nossas barras, basta usarmos a nossa formulazinha:

  • AB

    • D A B = 2,92 F A p l i c A B = 2,92 100 = 29,2   m m

  • BE

D B E = 2,92 F A p l i c B E = 2,92 125 = 32,7   m m

Resposta

  1. D A B = 29,2   m m
  2. D B E = 32,7   m m
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