Enunciado

A barra de aço BC é fixa a barra rígida AB e ao suporte fixo em C. Sabendo que G=77GPa, determinar a carga crítica Pcr para o sistema, quando d=12,7mm

Passo 1

Vamos entender esse problema, a gente tem essa estrutura composta e o enunciado nos deu o diâmetro e quer carga crítica que deve ser aplicada. também foi fornecido o módulo de cisalhamento da barra BC a qual precisamos calcular o diâmetro. Como relacionar esses caras?

O módulo de cisalhamento está presente na deformação por cisalhamento:

γ = T c G J

Onde:

c = d 2

Que também é dada por:

γ = t a n ⁡ ( θ )

Beleza, a gente já tem um spoiler de como fazer isso e já parece mais de boa do que antes, mas quem é o θ ? Aqui entra o diagrama de corpo livre da barra AB.

Beleza, com tudo isso já sabemos o que fazer é encontrar θ e relacionar ele com as fórmulas acima para encontrar o peso crítico! Repare que o que é momento fletor na barra AB é torsor para a outra barra e representamos aqui como T.

Passo 2

Vamos fazer a equação de equilíbrio dos momentos em B e encontrar uma relação para T:

∑ M B = T - P x = 0

Onde:

x = L s e n θ

E para ângulos pequenos:

s e n θ ≅ θ

Assim:

T = P L θ

Detalhe que para ângulos pequenos também é valido que:

t a n θ ≅ θ

Sendo assim a deformação de cisalhamento será:

γ = θ

Passo 3

Podemos voltar na fórmula que envolve o módulo de cisalhamento para analisar a situação.

γ = T c G J

Substituindo geral a gente vai ter:

θ = P L θ d 2 G J

Como a seção é circular a gente tem que:

J = π d 4 32

Cortando os θ e substituindo J, temos:

G π d 4 32 = P L d 2

Rearrumando:

P = G π d 3 16 L

Vamos enfim substituir todo mundo:

G = 77 G P a = 77 × 10 3 N / m m 2

d = 12,7 m m

E

L = 380 m m

Daí:

P C R = 77 × 10 3 × π × 12,7 3 16 × 380 = 81,5 × 10 3   N  

Resposta

P C R = 81,5 k N

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