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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 17.Problemas - Ex. 120

Uma barra delgada uniforme AB de comprimento L = 800 mm é posicionada com seu centro equidistante de dois apoios localizados a uma distância b = 200 mm entre si. A extremidade B da barra é erguida a uma distância h0 = 100 mm e liberada; a barra passa então a balançar sobre os apoios como mostrado na figura. Admitindo que o impacto em cada apoio seja perfeitamente plástico e que não haja deslizamento entre a barra e os apoios, determine (a) a altura h1 alcançada pela extremidade A após o primeiro impacto, (b) a altura h2 alcançada pela extremidade B após o segundo impacto.

Passo 1

O exercício pede que a gente encontre (a) a altura h1 alcançada pela extremidade A após o primeiro impacto, (b) a altura h2 alcançada pela extremidade B após o segundo impacto.

Momento de inércia.

I - = 1 12 m L 2

Seja θ o ângulo de inclinação da barra e h - a elevação do centro de gravidade.

Passo 2

Posição 0.

V 0 = m g h - 0 = m g b h 0 L + b                 T 0 = 0

Posição ‘

v - = 1 2 b ω '                 V ' = 0

T ' = 1 2 m v - ' 2 + 1 2 I - ω ' 2 = 1 2 m 1 2 b ω ' 2 + 1 2 1 12 m L 2 ω ' 2 = 1 24 m L 2 + 3 b 2 ω ' 2

Passo 3

Conservação de energia.

T 0 + V 0 = T ' + V ' :               0 + m g b h 0 L + b = 1 24 m L 2 + 3 b 2 ω ' 2

ω ' 2 = 24 g b h 0 L + b L 2 + 3 b 2 = C 1 h 0

Onde

C 1 = 24 g b L + b L 2 + 3 b 2

Passo 4

Cinemática.

v - ' = 1 2 b ω '               v - ' ' = 1 2 b ω ' '

Momentos sobre D:

m v - ' b 2 I - ω ' + 0 = m v - ' ' b 2 + I - ω ' '

- m 1 2 b ω ' b 2 + 1 12 m L 2 ω ' + 0 = m 1 2 b ω ' ' b 2 + 1 12 m L 2 ω ' '

ω ' ' = L 2 - 3 b 2 L 2 + 3 b 2 ω ' = C 2 ω '

Onde

C 2 = L 2 - 3 b 2 L 2 + 3 b 2

Passo 5

Posição 1 Elevação máxima da extremidade A.

Conservação da energia.

T 1 + V 1 = T ' ' + V '

Resulta

ω ' ' 2 = C 1 h 1

h 1 = ω ' ' 2 C 1 = C 2 3 ω ' 2 C 1 = C 2 2 C 1 C 1 h 1 = C 2 2 h 1

Passo 6

Dados:

L = 30   in . = 0.600   m                 b = 5

C 2 = 30 2 - 3 5 2 30 2 + 3 5 2 = 825 975 = 0.84615

C 2 2 = 0.71598

Passo 7

  1. h 1 = 0.71598 h 0 = 0.71598 4   in. = 2.8639   in.

    Passo 8

h 2 = 0.71598 h 1 = 0.71598 2.8639 = 2.0505   in.

Resposta

a )   h 1 = 2.86   in.

b )   h 2 = 2.05   in.

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