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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 131

A barra dobrada tem uma massa  ρ  por unidade de comprimento. Determine o momento do peso de barra em relação ao ponto  O .

Passo 1

Note que teremos duas forças que causam momento em torno de O uma da barra de comprimento a e a outra de comprimento b (iremos trabalhar com elas separadas somente por motivos de comodidade mesmo). Além disso, separaremos o peso de cada barra, concentrando-o na metade da barra de comprimento a e um outro peso na extremidade da barra. Como a massa da nossa barra é dada por m = ρ ⋅ d (densidade vezes comprimento) e, portanto, seu peso será dado por

m g = ρ g d

Lembrando mais uma vez que vai estar atuando no ponto médio de cada barra.

Passo 2

Sendo assim, calculando o momento (a direção será dada com a regra da mão direita) com relação ao eixo x vamos ter

M x = ρ g b ⋅ cos ⁡ θ ⋅ a ⋅ j ^ + ρ g a ⋅ a 2 ⋅ cos ⁡ θ   j ^

Analogamente para o eixo y temos

M y = - ρ g b ⋅ s e n θ ⋅ a ⋅ i ^ - ρ g a ⋅ a 2 ⋅ sen ⁡ θ   i ^

Nosso momento devido ao peso será dado por

M = M x + M y = ρ g b ⋅ cos ⁡ θ ⋅ a ⋅ j ^ + ρ g a ⋅ a 2 ⋅ cos ⁡ θ   j ^ - ρ g b ⋅ s e n θ ⋅ a ⋅ i ^ - ρ g a ⋅ a 2 ⋅ sen ⁡ θ   i ^

M = ρ g a ⋅ b ⋅ cos ⁡ θ j ^ + a 2 ⋅ cos ⁡ θ j ^ - b ⋅ sen ⁡ θ i ^ - a 2 ⋅ s en ⁡ θ i ^

M = ρ g a ⋅ b + a 2 ⋅ cos ⁡ θ j ^ - sen ⁡ θ i ^

Pronto, tá resolvido nosso problema.

Resposta

M = ρ g a ⋅ b + a 2 ⋅ cos ⁡ θ j ^ - sen ⁡ θ i ^

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