A barra esbelta uniforme tem uma massa de 30   k g e é liberada a partir do repouso na posição próxima da vertical mostrada, onde a mola com rigidez de 150   N / m está sem deformação. Calcule a velocidade com que a extremidade A atinge a superfície horizontal.

Passo 1

Bom, vamos utilizar a lei de conservação de energia, mas primeiro, vamos escrever cada uma das equações de cada energia envolvida no processo. Vamos começar pela energia cinética, a barra parte do repouso, então a energia cinética inicial é zero, e a final será dada pela rotação da barra em torno do eixo O, a equação será:

T = 1 2 I ω 2

A energia potencial elástica da mola será zero na posição inicial da barra, pois não há deformação, sobrando apenas a energia potencial elástica final que é dada por:

U e = 1 2 k x 2

E por fim, a energia potencial gravitacional será zero na posição final do sistema já que colocaremos a altura da barra no final como a altura zero no referencial, sobrando apenas a inicial, que será dada por:

U g = - m g h

Relacionando as três:

T + U e + U g = 0

1 2 I ω 2 + 1 2 k x 2 - m g h = 0

Passo 2

Precisamos determinar o momento de inercia em relação ao ponto O, pelo valor tabelado para a barra com eixo passando em uma extremidade:

I = 1 3 m l 2

E reescrevendo ω em termos da velocidade linear do ponto A:

ω = v A l

Onde l é o comprimento da barra.

Também precisamos determinar o valor da deformação x da mola, para isso, calculamos a hipotenusa d formada pela barra entre o antes e o depois do movimento, e depois subtraímos o comprimento da mola:

d = 1.2 m 2 + 0.9 m 2

d = 1.5 m

E então x será:

x = 1.5 m - 0.3 m = 1.2 m

E por último, a altura h do centro de massa antes do movimento será a metade do comprimento da barra

h = 0.6 m

Passo 3

Nossa lei da conservação então fica:

1 2 1 3 m l 2 v A l 2 + 1 2 k x 2 - m g h = 0

Isolando v A :

v A = m g h - 1 2 k x 2 1 6 m

Substituindo valores:

v A = ( 30 k g ) ( 9.81 m / s 2 ) ( 0.6 m ) - 1 2 ( 150 N / m ) ( 1.2 m ) 2 1 6 30 k g

v A = 13.72   m / s

Resposta

v A = 13.72   m / s

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