Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 3.5 - Ex. 98
A partícula é liberada no instante de tempo a partir da posição no interior do tubo liso sem velocidade em relação ao tubo, que é acionado na velocidade angular constante em torno de um eixo vertical. Determine a velocidade radial a posição radial , e a velocidade transversal como funções do tempo . Explique por que a velocidade radial aumenta com o tempo na ausência de forças radiais. Trace a trajetória absoluta da partícula durante o intervalo de tempo em que a partícula está no interior do tubo para , e .
Passo 1
Vamos começar procurando a velocidade radial em função do tempo. Como não temos nenhuma força na direção radial, podemos usar a segunda lei de Newton para escrever o seguinte:
E como queremos a velocidade radial , vamos usar a regra da cadeia para reescrever o termo da esquerda:
Ótimo, essa é uma equação diferencial separável, que pode ser resolvida para acharmos . Integrando dos dois lados ficamos com o seguinte:
Mas o enunciado diz que , então:
E ficamos apenas com o resultado positivo porque sabemos que a velocidade do cursor aponta para fora do tubo.
Mas isso ainda não está em função do tempo! Precisamos fazer mais algumas contas.
Passo 2
E podemos resolver essa integral consultando uma tabela:
Aplicando essa fórmula na nossa integral:
E elevando tudo ao quadrado:
E agora podemos dividir tudo por e isolar o :
Agora vamos multiplicar por no numerador e no denominador:
Pronto, temos a posição radial em função do tempo.
Passo 3
Agora podemos calcular a velocidade radial em função do tempo apenas derivando:
E a velocidade transversal segue uma fórmula bem simples:
A velocidade radial aumenta com o tempo apesar da ausência de forças radiais devido à inércia da partícula, assim como você é “jogado” para fora quando um carro faz uma curva acentuada.
Passo 4
Agora vamos traçar a trajetória da partícula com , e . É interessante reescrever as funções da seguinte forma:
E pensando que , temos . Como queremos desenhar apenas o movimento até quando a partícula deixa o tubo, vamos plotar isso apenas com :
Resposta
; ; .