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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 18.Problemas fundamentais - Ex. 5

Se a barra fina uniforme de 30 kg parte do repouso na posição mostrada, determine a velocidade angular após haver completado quatro revoluções. As forças permanecem perpendiculares à barra.

Passo 1

Sabendo que a barra parte do repouso (ω1 =0), ou seja, T1 = 0 , avalia-se a energia cinética para o estágio 2, sabendo que o movimento é plano geral. Assim:

T 2 = 1 2 m V 2 + 1 2 I G ω 2 2

Sabendo que o momento de inércia de massa é dado por:

I G =   1 12 m × L ²

I G =   1 12 × 30 × 3 ²

I G =   22,5   k g . m ²

E, sabendo que a velocidade linear pode ser escrita por meio da angular da seguinte forma: V = r*θ, tem-se:

T 2 = 1 2 × 30 × 0,5 × ω 2 ² + 1 2 × 22,5 × ω 2 2

T 2 = 15   ω 2 2

Passo 2

O trabalho será quantificado devido ao momento aplicado à roda somado aqueles desenvolvidos pela ação das forças de F1= 30N e F2 = 20N, assim:

s   1 = θ × r 1

s   1 =   8 π × 0,5  

s   1 =   4 π     m

Para a segunda força, tem-se:

s   2 = θ × r 2

s   2 =   8 π × 1,5  

s   2 =   12 π     m

Desse modo:

U 1   =   F 1 × s   1  

U 1   = 30 × 4 π  

U 1   = 120   π   J

U 2   =   F 2 × s   2  

U 2   = 20 × 12 π  

U 2   = 240   π   J

O trabalho causado pelo momento será:

U M   =   M × θ

U M   =   20 ( 4 × 2 π )

U M     =   160   π   J

Passo 3

Pelo princípio do trabalho e energia, tem-se que:

T 1 +   ∑ U 1 → 2   =   T 2

0 + ( U M + U 1 + U 2 ) = 15   ω 2 2

( 160 π + 120 π + 240 π ) = 15   ω 2 2

520 π = 15   ω 2 2

ω 2 = 10,44   r a d / s

Resposta

A velocidade angular após ter completado 4 rotações será de 10,44 rad/s.

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