A barra fina e uniforme de comprimento l é colocada na abertura de largura d no ângulo 30∘ mostrado. Para qual intervalo de l/d a barra permanecerá em equilíbrio estático? O coeficiente de atrito estático em A e B é μ s = 0.40

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine qual intervalo de l/d a barra permanecerá em equilíbrio estático

Tomando a condição de escorregamento onde a haste escorrega na direção para baixo e aplicando o equilíbrio, obtém-se duas equações em duas incógnitas RA, RB

Equação 1

R A - R B s i n ⁡ 30 + μ R B c o s ⁡ 30 = 0

Equação 2

μ R A + R B c o s ⁡ 30 + μ R B s i n ⁡ 30 = m g

Multiplicando EQ(1) por μ

μ R A - μ R B s i n ⁡ 30 + μ 2 R B c o s ⁡ 30 = 0

Substituindo Eq(2) por eq (1)

R B ( c o s ⁡ 30 + μ s i n ⁡ 30 ) + R B μ ( c o s ⁡ 30 - μ c o s ⁡ 30 ) = m g

Com μ = 0.4

R B = 0.843 m g por substituição

R A = 0.843 m g ( s i n ⁡ 30 - 0.4 c o s ⁡ 30 ) = 0.129 m g

Passo 2

Para um momento de equilíbrio sobre B

R A d t a n ⁡ 30 - μ R A d + d l c o s ⁡ 30 m g d 2 - 1 - d l c o s ⁡ 30 m g 1 2 1 - d cos ⁡ 30 c o s ⁡ 30 = ( 0.129 ( t a n ⁡ 30 ) - 0.4 ( 0.129 ) ) m g d + d l c o s ⁡ 30 m g d 2 - 1 - d l c o s ⁡ 30 m g 1 2 1 - d cos ⁡ 30 c o s ⁡ 30 = 0 0.0229 + 0.577 d l - 0.433 l d + 1 - 0.577 d l = 0 1.0229 - 0.433 d l = 0 d l = 2.36

Agora considere a condição de escorregamento onde a haste vira para cima e escorrega na direção para cima. A aplicação de equilíbrio dá duas equações em duas incógnitas RA, RB

Equação 1

R A - R B s i n ⁡ 30 - μ R B c o s ⁡ 30 = 0

Equação 2

- μ R A + R B c o s ⁡ 30 - μ R B s i n ⁡ 30 = m g

Multiplicando eq(1) por μ

μ R A - μ R B s i n ⁡ 30 - μ 2 R B c o s ⁡ 30 = 0

Adicionando Eq(1) e (2)

R B ( c o s ⁡ 30 - μ s i n ⁡ 30 ) + R B μ ( s i n ⁡ 30 + μ c o s ⁡ 30 ) = m g

com  μ = 0.4

R B = 3.054 m g   a n d   b y   s u b s t i t u t i o n ;   R A = 3.054 m g ( s i n ⁡ 30 + 0.4 c o s ⁡ 30 ) = 2.585 m g

Passo 3

Para um momento de equilíbrio sobre B obtemos

R A d t a n ⁡ 30 + μ R A d + d l c o s ⁡ 30 m g d 2 - 1 - d l c o s ⁡ 30 m g 1 2 1 - d cos ⁡ 30 c o s ⁡ 30 = 0

Procedendo derivamos a equação

3.585 - 0.433 d l = 0 d l = 8.28

Então, sua taxa é 2.36 ≤ d 1 ≤ 8.27

O limite superior é próximo, mas não exatamente igual à resposta dada no livro; 8,14.

Resposta

2.36 ≤ d l ≤ 8.2 8

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