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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 33

A barra A B está fixada aos anéis nas suas extremidades por juntas esféricas. Se o anel A tem uma velocidade v A = 3   m / s , determine a velocidade do anel B no instante mostrado. Suponha que a velocidade angular é perpendicular à barra.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede a velocidade do anel B .

Vamos às analises:

v B = v B 0 - 1,5 i + 2 - 0 j 0 - 1,5 2 + 2 - 0 2

v B = - 0,6 v B i + 0,8 v B j

v A = - 3 k

ω A B = ω x i + ω y j + ω z k

r B / A = 2 j - 1 k

Temos então que:

v B = v A + ω A B × r B / A

- 0,6 v B i + 0,8 v B j = - 3 k + ω x i + ω y j + ω z k × 2 j - 1 k

Para resolver produto vetorial, temos que ter cuidado com quem multiplica quem primeiro. Por exemplo:

i × j ≠ j × i

Aqui estão todos os produtos dos vetores unitários:

Passo 2

Vamos encontrar cada termo da equação de v B , para melhorar a organização dos cálculos:

ω A B × r B / A = ω x i + ω y j + ω z k × 2 j - 1 k

ω A B × r B / A = i j k ω x ω y ω z 0 2 - 1

ω A B × r B / A = - 1 ω y i + 0 ω z j + 2 ω x k - 2 ω z i - 1 ω x j + 0 ω y k

ω A B × r B / A = - 1 ω y - 2 ω z i + ω x j + 2 ω x k

Juntando tudo temos:

- 0,6 v B i + 0,8 v B j = - 3 k + - 1 ω y - 2 ω z i + ω x j + 2 ω x k

Passo 3

Agora vamos montar um sistema para cada componente:

- 0,6 v B i = - 1 ω y - 2 ω z i

0,8 v B j = ω x j

0 k = - 3 k + 2 ω x k

É possível observar que temos 3 equações e 4 variáveis. Portanto, precisamos de uma quarta equação dada por:

ω A B ⋅ r B / A = 0

ω x i + ω y j + ω z k ⋅ 2 j - 1 k = 0

0 ω x + 2 ω y - 1 ω z = 0

Passo 4

Relacionando as 4 equações, temos que:

ω x = 1,5   r a d / s

ω y = 0,225   r a d / s

ω z = 0,45   r a d / s

v B = 1,875   m / s

Resposta

v B = 1,875   m / s

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