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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 22

A barra AB está fixada aos anéis nas suas extremidades por juntas esféricas. Se o anel A tem uma aceleração a A   =   4 i   m / s ² e uma velocidade V a = 1,5   i   m / s , determine a aceleração angular da barra e a aceleração do anel B no instante mostrado. Suponha que a aceleração angular da barra é direcionada perpendicular à barra

Passo 1

Definir vetores:

r a / b   =   [ ( 0   –   ( - 2 ) ) i   +   ( 1   –   0 ) j   +   ( 0   –   2 ) K ]   =   [ 2 i   +   1 j   –   2 k ]

V b   =   V B   j

V a   =   1,5   i

ω   =   ω x   i   + ω y     j   +   ω z   k

Passo 2

Encontrando a velocidade no ponto B.

V b   =   V a   + ω   x   r a / b

Substituindo:

V b   j   =   1,5   i   +   ( ω x i   + ω y   j   +   ω z k   )   X   ( 2 i   +   1 j   –   2 k )

Organizando por componentes i, j e k.

V b   j   =   ( 1,5   –   2 ω y   –   ω z ) i   +   ( 2 ω x   +   2 ω z ) j   +   ( ω x       –   2 ω y ) k

Passo 3

Separando os valores por componentes i,j e k. Teremos:

1,5   –   2 ω y   –   ω z   =   0

V b   =   2 ω x   +   2 ω z

ω x       –   2 ω y =   0

Por haver 3 equações e 4 incógnitas faz-se necessário encontrar uma 4° equação.

ω .   r a / b       =   0

( ω x i   + ω y   j   +   ω z k ) . (   2 i   +   1 j   –   2 k )   =   o

2 ω x   +   ω y –   2 ω z     =   0

Isolando: ω x   –   2 ω y   =   0

ω y = ω x /2

2 ω x + ω y – 2 ω z = 0 2.5 ω x = 2 ω z

V b = 2 ω x + 2 ω z V b = 9/2 ω x

Substituindo:

1,5 – 2 ω y – ω z = 0

1,5 – ω x – 2.5 ω x = 0

ω x = 0,428 rad/s

Como   V b depende de   ω x :

V b = 4.5 x 0,428 = 1,972 m/s

Como 2.5 ω x = 2 ω z temos:

2.5 ω x = 2 ω z ω z = 0,535 rad/s

Por fim ω y = ω x /2 então:

ω y = ω x /2 ω y = 0,214 rad/s

Logo:

ω = 0,428   i     0,214   j + 0,535   k  

Agora para encontrar a aceleração:

α = α x i + α y j + α z k

Analogamente para a aceleração em B:

α B = α A +   α   x   r B / A + ω   x   ( ω   x   r B / A )

α B   j = 4   i + α x i + α y j + α z k   x   ( 2 i   +   1 j   –   2 k ) + ( 0 , 428   i     0,214   j + 0,535   k ) x ((0 , 428   i     0,214   j + 0,535   k )   x   ( 2 i   +   1 j   –   2 k ) )

Utilizando a seguinte propriedade ( a b c ) x ( d e f ) = ( bf-ce cd-af ae-bd )

Teremos:

α B   j = 3 - 2 α y - α z i + 5 + 2 α x + 2 α z j + 1 +   α x -   2 α y k    

Separando os valores por componentes i,j e k. Teremos:

3 - 2 α y - α z = 0

5 + 2 α x + 2 α z = α B   j

1 +   α x -   2 α y = 0

Por haver 3 equações e 4 incógnitas faz-se necessário encontrar uma 4° equação.

α .   r a / b       =   0

( α x   i   + α y     j   +   α z   k ) . (   2 i   +   1 j   –   2 k )   =   0  

2 α x + α y – 2 α z = 0

Resolvendo as equações temos:

3 - 2 α y - α z = 0

5 + 2 α x + 2 α z = α B  

1 +   α x -   2 α y = 0

2 α x   +   α y –   2 α z     = 0

Aplicando eliminação de Gauss poderemos obter os resultados, sugere-se a utilização de algum software ou aplicativo para a resolução do problema pois torna-se uma matriz 4x4 tornado inviável a resolução manual. Assim organizando em matriz teremos:

0 .   α x   - 2 α y - 1 . α z + 0 . α B =   - 3

2 . α x + 0 . α y +   2 α z - α B =   - 5

1 . α x -   2 α y +   0 . α z +   0 . α B =   - 1

2 α x   +   1 . α y –   2 α z   +   0 .   α B     =   0

Resposta

A aceleração em B foi de 9 m/s² e a aceleração e as componentes foram de α x = 0,778   r a d / s , α y =   0,889   r a d / s e α z   = 1,222   r a d / s .

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