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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 31

A barra A B está fixada aos anéis nas suas extremidades por juntas esféricas. Se o anel A tem uma velocidade v A = 1,5   m / s no instante mostrado, determine a velocidade do anel B . Suponha que a velocidade angular é perpendicular à barra.

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos analisar essa questão.

O enunciado nos pede a velocidade do anel B .

Vamos às analises:

v B = v B k

v A = 1,5 i

ω A B = ω x i + ω y j + ω z k

r B / A = - 0,2 i + 0,6 j - 0,3 k

Temos então que:

v B = v A + ω A B × r B / A

v B k = 1,5 i + ω x i + ω y j + ω z k × - 0,2 i + 0,6 j - 0,3 k

Para resolver produto vetorial, temos que ter cuidado com quem multiplica quem primeiro. Por exemplo:

i × j ≠ j × i

Aqui estão todos os produtos dos vetores unitários:

Passo 2

Portanto:

v B k = 1,5 i + ω x i + ω y j + ω z k × - 0,2 i + 0,6 j - 0,3 k

Vamos encontrar cada termo da equação de v B , para melhorar a organização dos cálculos:

ω A B × r B / A = ω x i + ω y j + ω z k × - 0,2 i + 0,6 j - 0,3 k

ω A B × r B / A = i j k ω x ω y ω z - 0,2 0,6 - 0,3

ω A B × r B / A = - 0 , 3 ω y i - 0,2 ω z j + 0,6 ω x k - 0,6 ω z i - 0,3 ω x j - 0,2 ω y k

ω A B × r B / A = - 0,3 ω y - 0,6 ω z i + - 0,2 ω z + 0,3 ω x j + 0,6 ω x + 0,2 ω y k

Juntando tudo temos:

v B k = 1,5 i + - 0,3 ω y - 0,6 ω z i + - 0,2 ω z + 0,3 ω x j + 0,6 ω x + 0,2 ω y k

Passo 3

Agora vamos montar um sistema para cada componente:

0 i = 1,5 i + - 0,3 ω y - 0,6 ω z i

0 j = - 0,2 ω z + 0,3 ω x j

v B k = 0,6 ω x + 0,2 ω y k

É possível observar que temos 3 equações e 4 variáveis. Portanto, precisamos de uma quarta equação dada por:

ω A B ⋅ r B / A = 0

ω x i + ω y j + ω z k ⋅ - 0,2 i + 0,6 j - 0,3 k = 0

- 0 , 2 ω x + 0,6 ω y - 0,3 ω z = 0

Passo 4

Relacionando as 4 equações, temos que:

ω x = 1,2245   r a d / s

ω y = 1,3265   r a d / s

ω z = 1,8367   r a d / s

v B = 10   m / s

Logo:

v B = 10 k   m / s

Resposta

v B = 10 k   m / s

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