Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 102
A barra rígida é sustentada por um pino em e dois cabos de aço, cada um com diâmetro de . Se a tensão de escoamento para os cabos for e , determine a intensidade da carga distribuída que pode ser colocada sobre a viga de modo a provocar um início de escoamento somente em um dos cabos e a menor intensidade da carga distribuída que provoque o escoamento de ambos os cabos. Para o cálculo, considere que o aço é elástico perfeitamente plástico.
Passo 1
Uma barra rígida tem como suporte um pino em e dois cabos: um em e outro em . Um carregamento uniformemente distribuído puxa a barra para baixo.
Características dos cabos:
- Aço: , .
- Área transversal: .
- Comprimento inicial: .
- Material elastoplástico.
A questão pede que analisemos duas situações:
- Caso : descobrir qual é o valor da carga distribuída que vai causar o início de escoamento de um dos cabos.
- Caso : o menor valor de que causa escoamento em ambos os cabos.
Beleza, então estamos procurando valores para a carga distribuída .
Para o Caso , vamos precisar descobrir qual dos cabos escoa primeiro.
Depois pro Caso a gente vê qual valor assume quando o outro cabo começa a escoar!
Passo 2
Como podemos descobrir quem escoa primeiro fazendo pouca conta?
Bem, os dois cabos são iguais: mesmo material e mesmo comprimento inicial. A gente sabe que pela Lei de Hooke, tensão no regime elástico é função da deformação:
Então o cabo que vai chegar primeiro na tensão de escoamento é aquele que deforma mais! Definição de deformação:
O é igual! Vamos ver qual cabo tem deslocamento maior.
A barra vai girar ao redor do pino em . Como ela é rígida, ela não se deforma. Vejamos como os deslocamentos dos cabos se relacionam. A barra é a linha preta na figura.
Opa, pela figura já dá pra ver de cara que (sempre)! O cabo escoa primeiro!
Para o Caso estamos procurando o que causa o início do escoamento de !
Agora sim, vamos pras contas!
Passo 3
Estamos procurando forças, então primeiro vamos ver no diagrama de corpo livre como elas se relacionam. O que nos interessa são as forças verticais.
A situação que estamos buscando é quando o cabo começa a escoar, o que significa que a tensão no cabo é
Pela fórmula da tensão, , podemos calcular já de cara qual é a força que o cabo está suportando:
Show, já é uma informação resolvida! Vamos ver o que isso tem a ver com , que é quem procuramos.
Fazendo equilíbrio de momentos em a gente não tem que lidar com a reação do pino. Atenção que o carregamento atua a de com itensidade de .
Hmmm, pra definirmos ainda precisamos descobrir o valor da força . Vamos ver a compatibilidade.
Passo 4
Volte à figura do Passo 2. Temos três triângulos com um ângulo em comum. Olhando para o menor e o intermediário, podemos formar uma equação com a tangente do ângulo:
O cabo a gente sabe que está no regime elástico (porque escoa primeiro e estamos investigando o momento inicial de escoamento). Então para você pode usar a relação carga-deslocamento sem medo:
Para , você também vai poder usar a relação carga-deslocamento porque ele começou a escoar agora (está no limite , final do regime elástico).
Olha que fácil, já acabamos o Caso . Voltando a temos que
Bora pro Caso !
Passo 5
Ok, então escoa primeiro. Agora queremos ver qual é o menor valor de pro outro cabo também escoar. Ou seja, temos que achar que faz com que comece a escoar!
Vamos voltar para a equação que temos relacionando . Equilíbrio de momentos:
Precisamos achar e para essa nova situação do Caso .
O cabo vai continuar escoando, e como ele é elastoplástico, a tensão nele vai ser manter :
Então pela fórmula da tensão, temos a mesma força ainda nesse cabo.
A gente vai acabar com a questão agora mesmo! O cabo também está escoando, então a tensão nele também é
De novo, pela fórmula da tensão
Olha que beleza! Só fechar as contas:
Resposta
Carga distribuída para início de escoamento em apenas um cabo: .
Menor carga distribuída para escoamento em ambos os casos: .