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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 106

A barra AB é rigidamente presa à estrutura de um motor em funcionamento com velocidade constante. Quando um cursor de massa m é colocado sobre a mola, observa-se que ele tem amplitude de 15 mm. Quando dois cursores, cada um com massa m, são colocados sobre a mola, a amplitude de vibração observada é 18 mm. Qual a amplitude de vibração esperada quando três cursores, cada um com massa m,são colocados sobre a mola? (Obter duas respostas.)

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? Vamos encontrar qual a amplitude de vibração esperada quando três cursores, cada um com massa m,são colocados sobre a mola? (Obter duas respostas.)

(a)Uma coleira: ( x m ) 1 = 15   m m                               ( ω n ) 1 2 = k m

(b)Duas Coleiras: ( x m ) 2 = 18   m m                               ( ω n ) 2 2 = k m = 1 2 ( ω n ) 1 2

( ω ω n ) 2 = 2 ( ω ω n ) 1

(c)Três coleiras: x m = d e s c o n h e c i d o ,

( ω n ) 3 2 = k 3   m = 1 3 ( ω n ) 1 2 ,

( ω ω n ) 3 = 3 ( ω ω n ) 1

Passo 2

Notamos também que a amplitu de δ m do deslocamento da base permanece costante.

Referindo-se à seção anterior, notamos que, uma vez que ( x m ) 2 > ( x m ) 1 e         ω ( ω n ) 2 > ω ( ω n ) 1 devemos ter ω ( ω n ) 1 < 1 e ( x m ) 1 > 0 . Entretanto, ω ( ω n ) 2 pode ser 1 com ( x m ) 2 sendo correspondentemente ou >0 ou

① Supondo ( x m ) 2 > 0 .

Para um coleira: ( x m ) 1 = δ m 1 - ( m ω n ) 1 2   j                       + 15   m m =   δ m 1 - ( m ω n ) 1 2

Para duas Coleiras:( x m ) 2 = δ m 1 - ( m ω n ) 2 2   j                       + 18   m m =   δ m 1 - 2 ( m ω n ) 1 2

Dividindo as Equações Anteriores, membro por membro:

1.2 = 1 - ( m ω n ) 1 2 1 - 2 ( m ω n ) 1 2   ;     n ó s   a c h a m o s   ( m ω n ) 1 2 = - 1 7

Substituindo na equação 1: δ m = 15   m m 1 - 1 7 = 90 7   m m

Para três coleiras: ( x m ) 3 = δ m 1 - 3 ( m ω n ) 1 2 = 90 7 m m 1 - 3 1 7 = 90 4 m m ,

Passo 3

②Supondo ( x m ) 2 < 0 .

Para duas Coleiras, temos - 18   m m =   δ m 1 - 2 ( m ω n ) 1 2

Dividindo as Equações Anteriores, membro por membro:

- 1.2 = 1 - ( m ω n ) 1 2 1 - 2 ( m ω n ) 1 2

1.2 + 2.4 = ( m ω n ) 1 2 = 1 - ( m ω n ) 1 2

( m ω n ) 1 2 = 2.2 3.4 = 1.1 1.7

Substituindo na equação 1: δ m = 15   m m 1 - 1.1 1.7 = 9 7   m m

Para três coleiras: ( x m ) 3 = δ m 1 - 3 ( m ω n ) 1 2 = 9 1.7 m m 1 - 3 1.1 1.7 = 9 m m - 1.6 ,

(Fora de fase)

Pontos correspondentes às duas soluções são endicados abaixo:

Resposta

a) ( x m ) 3 = 22.5   m m

b) ( x m ) 3 = - 5.63   m m

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