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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 85

As barras rígidas B F   e D H   são soldadas ao perfil laminado de aço A E ,   como mostrado. Para o carregamento indicado, determinar: (a) o comprimento c das barras, para que a deflexão em C seja nula; (b) a correspondente deflexão no ponto B   do vão . Usar E = 200   G P a .

Passo 1

Fala aí galera, bora estudar resmat. Primeiramente, nesta questão, devemos calcular as reações de apoio. Neste caso, por simetria:

F A = F E = 50   k N

Logo, a equação do momento em função de x pode ser calculada. Iremos caminhar pela estrutura acrescentando as parcelas dos momentos causados pelos esforços.

No entanto, surgirão momentos pontuais nas ligações das barras B F   e H D   com a barra principal. Eles serão dados por:

M 0 = F x × c

Onde F x é a componente horizontal da força na corda. Ela é dada por:

F x 0,3 = 100 0,15 → F x = 200 k N

Logo:

M 0 = 200 × c = 200 c

Os momentos terão sentidos opostos.

Fazendo isso, a equação do momento será:

M x = 50 x - 200 c < x - 0,5 > 0 - 50 < x - 0,5 > + 200 c < x - 1,1 > 0 - 50 < x - 1,1 >

A equação da linha elástica é dada por:

d y 2 d 2 x = M x E I

Portanto, ela será:

d y 2 d 2 x = 50 x - 200 c < x - 0,5 > 0 - 50 < x - 0,5 > + 200 c < x - 1,1 > 0 - 50 < x - 1,1 > E I

Passo 2

Agora, vamos integrar a equação acima uma vez em relação a x para acharmos declividade em função de x . Logo:

E I θ = 50 x 2 2 - 200 c < x - 0,5 > 1 - 50 2 < x - 0,5 > ² + 200 c < x - 1,1 > 1 - 50 2 < x - 1,1 > ² + C 1

Para determinar a constante de integração C 1 ,   vamos usar as condições de contorno. Sabemos que:

θ 0 = 0

Logo, substituindo:

C 1 = 0

Portanto:

E I   θ = 50 x 2 2 - 200 c < x - 0,5 > - 25 < x - 0,5 > ² + 200 c < x - 1,1 > 1 - 25 < x - 1,1 > ²

Agora, iremos integrar a equação novamente em relação a x   para encontramos a deflexão. Ou seja:

E I   y = 50 x 3 6 - 100 c < x - 0,5 > ² - 25 3 < x - 0,5 > ³ + 100 c < x - 1,1 > 2 - 25 3 < x - 1,1 > ³ + C 2

Do mesmo modo, sabemos que:

y 0 = 0

Pois, no apoio não há deflexão. Portanto:

C 2 = 0

Logo, a deflexão será:

E I   y = 50 x 3 6 - 100 c < x - 0,5 > ² - 25 3 < x - 0,5 > ³ + 100 c < x - 1,1 > 2 - 25 3 < x - 1,1 > ³

Passo 3

Se a deflexão em B   é nula, temos que:

y 0 , 8 = 0

50 0,8 3 6 - 100 c 0,3 2 - 25 3 0,3 3 = 0

4,04 - 9 c = 0

c = 0,44   m

Logo:

E I   y = 50 x 3 6 - 44 < x - 0,5 > ² - 25 3 < x - 0,5 > ³ + 44 < x - 1,1 > 2 - 25 3 < x - 1,1 > ³

Passo 4

Para a letra b, basta substituir a posição do ponto B .  

E I   y 0,5 = 1,041

Sabemos que essa seção possui momento de inércia tabelado, logo:

y 0,5 = 1,041 4,7 × 10 - 6 × 200 × 10 9 = 1,1 × 10 - 6   m

Resposta

  1. c = 0,44   m  
  2. y 0,5 = 1,1 × 10 - 6   m
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