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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 137

Uma barra uniforme de massa m é suportada por um pino em A e uma mola de constante k em B e está ligada em D a um amortecedor de coeficiente de amortecimento c. Determine, em termos de m, k e c, para pequenas oscilações, (a) a equação diferencial de movimento, (b) o coeficiente de amortecimento crucial c c .

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? O enunciado pede que a gente determine, (a) a equação diferencial de movimento, (b) o coeficiente de amortecimento crucial c c .

Em equilíbrio, a força na mola é mg.

Para ângulos pequenos, sin ⁡ θ ≈ θ cos ⁡ θ ≈ 1

δ y B = l 2   θ

δ y c = l   θ

Passo 2

  1. Determinando a equação em movimento temos que fazer o somatório dos momentos

∑ M A = ( ∑ M A ) c f f :

↷ + m g l 2 - k l 2 θ + m g l 2 - c l θ l = I - α + m α - t l 2

Cinemática α = θ ¨

α - t = l 2   α = l 2   θ ¨

I - + m l 2 ²   θ ¨ + c l 2 θ ˙ + c l 2 θ ˙ + k l 2 2 θ = 0

I - + m l 2 2 = 1 3   m l ²

θ ¨ + 3 c m θ ˙ + 3 k 4 m θ ≈ 0

Passo 3

(b)Substituindo θ ≈ e λ 1 na equação diferencial obtida em (a), obtemos a equação característica.

λ 2 + 3 c m   λ + 3 k 4 m = 0

E obtenha as raízes: λ = 3 c m ∓ 3 c m 2 - 3 c m 2

O coeficiente de amortecimento crítico, c c , é o valor de C, para o qual o radicando é zero.

Por isso, 3 c c m 2 = 3 k m

c c = k m 3

Resposta

a) θ ¨ + 3 c m θ ˙ + 3 k 4 m θ ≈ 0

b) c c = k m 3

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