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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 129

No caso de amortecimento subcrucial, os deslocamentos x 1 , x 2 , x 3 mostrados na Fig. 19.11 podem ser considerados iguais aos deslocamentos máximos. Mostre que a razão de dois deslocamentos máximossucessivos x n   e   x n + 1   é constante e que o logaritmo natural dessa razão,chamado de decremento logarítmico, é

I n x n x n + 1 = 2   π   ( c / c c r ) 1 - ( c / c c r )

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? Mostre que a razão de dois deslocamentos máximossucessivos x n   e   x n + 1   é constante e que o logaritmo natural dessa razão,chamado de decremento logarítmico, é

I n x n x n + 1 = 2   π   ( c / c c r ) 1 - ( c / c c r )

Para equação de amortecimento de luz.

x = x 0 e - ( c 2   m ) t sin ⁡ ( ω 0 t + ∅ )

Passo 2

Em dado deslocamento máximo, t = t n ,                   x = x n .

sin ⁡ ( ω 0 t + ∅ ) = 1

x n = x 0 e - ( c 2   m ) t n

No próximo deslocamento máximo, t = t n + 1 ,                   x = x n + 1 .

sin ⁡ ( ω 0 t n + 1 + ∅ ) = 1

x n + 1 = x 0 e - ( c 2   m ) t n + 1

Mas, ω D t n + 1 - ω D t n = 2   π

t n + 1 - t n = 2   π ω D

Passo 3

Razão de deslocamentos sucessivos: x n x n + 1 = x 0 e - c 2   m t n x 0 e - c 2   m t n

= e c 2   m ( t n - t n + 1 ) = e + c   2   π 2   m   ω D

Portanto, In         x n x n + 1 = c     π   m   ω D

Da equação anterior ω D = ω n 1 - c c c 2

PortantoIn x n x n + 1 = c     π   m   2   m c c 1 1 - c c c 2

Resposta

In x n x n + 1 = 2   π c c c   1 - c c c 2     Q . E . D

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