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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 80

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar (a) a declividade em A ; (b) a deflexão em C . Usar E = 200 G P a .

Passo 1

Fala aí galera, bora estudar resmat. Primeiramente, nesta questão, devemos calcular as reações de apoio. Sabemos que:

∑ M D = 0 → 45 × 1,5 + 1,8 × 1,5 + 1,8 2 + 1,8 × 90 = F A × 4,8

F A = 84,79   k N

∑ F y = 0 → 90 + 45 × 3,3 = F A + F D

F A = 153,71   k N

Logo, a equação do momento em função de x pode ser calculada. Iremos caminhar pela estrutura acrescentando as parcelas dos momentos causados pelos esforços. Fazendo isso, a equação do momento será:

M x = F A x - 45 2 < x - 1,5 > 2 - 90 < x - 3 >

M x = 153,71   x - 45 2 < x - 1,5 > 2 - 90 < x - 3 >

A equação da linha elástica é dada por:

d y 2 d 2 x = M x E I

Portanto, ela será:

d y 2 d 2 x = 153,71   x - 45 2 < x - 1,5 > 2 - 90 < x - 3 > E I

Passo 2

Agora, vamos integrar a equação acima uma vez em relação a x para acharmos declividade em função de x . Logo:

E I   θ = 153,71 x 2 2 - 45 6 < x - 1,5 > ³ - 90 2 < x - 3 > ² + C 1

Para determinar a constante de integração C 1 ,   vamos usar as condições de contorno. Sabemos que:

θ 0 = - θ 4,8

A estrutura possui uma rotação em um sentido em A   e em C   ela gira o mesmo valor no sentido oposto.

Logo, substituindo:

θ 0 = C 1

θ 4,8 = 1355,41 + C 1

θ 0 = - θ 5

C 1 = - 1355,41 - C 1

C 1 = - 677,7

Portanto:

E I   θ = 153,71 x 2 2 - 45 6 < x - 1,5 > ³ - 90 2 < x - 3 > ² - 677,7

Agora, iremos integrar a equação novamente em relação a x   para encontramos a deflexão. Ou seja:

E I   y = 153,71 x 3 6 - 45 24 < x - 1,5 > 4 - 90 6 < x - 3 > ³ - 677,7 x + C 2

Do mesmo modo, sabemos que:

y 0 = 0

Pois, no apoio não há deflexão. Portanto:

C 2 = 0

Logo, a deflexão será:

E I   y = 153,71 x 3 6 - 45 24 < x - 1,5 > 4 - 90 6 < x - 3 > ³ - 677,7 x

Passo 3

Agora, basta calcular os itens pedidos substituindo a posição dos pontos nas funções encontradas. Para a letra a:

E I   θ 0 = - 677,7

  θ ( 0 ) = - 677,7 E I

Para esse perfil, temos o momento de inércia tabelado em ábacos do livro, logo:

θ 0 = - 677,7 200 × 10 9 × 3,16 × 10 - 4 = - 1,07 × 10 - 5   r a d

Portanto, esta é a declividade em A .

Passo 4

Agora, fazendo o mesmo para a letra b:

E I   y 3 = - 2724,79

y 3 = - - 2724,79 200 × 10 9 × 3,16 × 10 - 4 = - 4,31 × 10 - 5   m

E pronto! Está finalizada a questão.

Resposta

  1. θ 0 = - 1,07 × 10 - 5   r a d
  2. y 3 = - 4,31 × 10 - 5   m
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Para a viga uniforme mostrada, determinar a reação em cada um dos três apoios.