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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 11

Um bloco de 10 kg é colocado sobre o plano inclinado como mostrado na figura, as forças de 30 e 75N atuam paralelas as arestas AB e AC, respectivamente. Se ele está inicialmente em repouso, determinar sua velocidade quando t=3s e sabendo que o coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a superfície é µc=0,2.

Passo 1

Fazendo o DCL no bloco, temos que:

Fazendo as considerações necessárias para este DCL, temos que o eixo Z é perpendicular ao plano de deslizamento do bloco, ou seja, o bloco está sendo empurrado apenas no plano x-y. A força de atrito Fat, está agindo apenas na superfície de deslizamento, ou seja, apenas em x-y. a força peso P do bloco age a 30° de inclinação de Z e apenas no plano y-z.

Passo 2

Com isso, teremos para Z:

m * v z 1 + ∑ ∫ t 1 t 2 F z d t = m * v z 2

Portanto teremos:

10 * 0 + N c * 3 - P * c o s 30 ° * 3 = 10 * 0

Logo:

N c = P * c o s 30 ° = m . g * c o s 30 ° = 10 * 9,81 * c o s 30 ° = 84,96 N

Para o plano X-Y, temos que:

Onde o movimento do bloco será na direção da força de atrito Fat, porém em sentido oposto, com isso, na direção Y, temos que:

m * v y 1 + ∑ ∫ t 1 t 2 F y d t = m * v y 2

Assim:

10 * 0 + 75 * 3 - F a t * s i n θ * 3 - P * s i n 30 ° * 3 = 10 * v * s i n θ

0 + 225 - µ c * N c * s i n θ * 3 - m * g * s i n 30 ° * 3 = 10 * v * s i n θ

225 - 0,2 * 84,96 * s i n θ * 3 - 10 * 9,81 * s i n 30 ° * 3 = 10 * v * s i n θ

s i n θ 10 * v + 50,98 = 77,85                     ( 1 )

Para o eixo X, temos:

m * v x 1 + ∑ ∫ t 1 t 2 F x d t = m * v x 2

10 * 0 + 30 * 3 - F a t * c o s θ * 3 = 10 * v * c o s θ

0 + 90 - µ c * N c * c o s θ * 3 = 10 * v * c o s θ

90 - 0,2 * 84,96 * c o s θ * 3 = 10 * v * c o s θ

Isolando vx2, temos:

c o s θ 10 * v + 50,98 = 90                     ( 2 )

Dividindo (1) por (2), temos:

s i n θ 10 * v + 50,98 c o s θ 10 * v + 50,98 = 77,85   90                

Então:

t g θ = 0,865

Com isso:

θ = a r c t g 0,865 = 40,86 °

Aplicando θ=40,86° em qualquer uma das equações, teremos que:

v = 6,8 m / s

Resposta

O bloco irá se deslocar com uma velocidade de 6,8m/s em uma direção com 40,86° de inclinação com relação ao eixo X.

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