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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 19

Um bloco de 15 kg é suportado pelo sistema de molas mostrado na figura. Se o bloco é movido 40 mm verticalmente para baixo da sua posição de equilíbrio e liberado, determine (a) o período e a frequência do movimento resultante, (b) a velocidade máxima e a aceleração do bloco.

Passo 1

Determine a constante k de uma única mola equivalente às três molas mostradas.

Molas 1 e 2:

δ = δ 1 + δ 2 ,                 e                 P 1 k ' = P 1 k 1 = P 1 k 2

Consequentemente,

k ' = k 1 k 2 k 1 + k 2

Onde k ' é a constante da mola de uma única mola equivalente às molas 1 e 2.

Molas k ' e 3 Deflexão em cada mola é o mesmo.

Então

P = P 1 + P 2 ,                   e                 P = k δ ,               P 1 = k ' δ ,               P 2 = k 3 δ

Agora

k δ = k ' δ + k 3 δ

k = k ' + k 3 = k 1 k 2 k 1 + k 2 + k 3

k = 20 12 20 + 12 + 16 = 23.5   lb/in . = 282   lb/ft

m = 30 32.2 = 0.93167   lb ∙ s 2 / ft

ω n 2 = k m = 282 0.93167 = 302.68                 ω n = 17.398   rad/s

Passo 2

  1. Período.

    2. τ 0 = 2 π ω n

    Frequência.

    f n = ω n 2 π

    Passo 3

  2. Movimento harmônico simples.

x = 1.75 sin ⁡ ω t + ϕ   em polegadas

x ˙ = 1.75 17.398 cos ⁡ ω t + ϕ

v m = x ˙ m = 30.447   in./s

x ¨ = - 1.75 17.398 2 sin ⁡ ω t + ϕ

a m = x ¨ m = 529.7   in./ s 2

Resposta

a )   τ n = 0.361   s

f n = 2.77   Hz

b )   x m = 1.750   in.

v m = 2.54   ft/s

a m = 44.1   ft/ s 2

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