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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 15.Problemas - Ex. 225

Uma placa quadrada com 500   m m de lado está articulada nos pontos A e B de um grampo em U . A placa gira à taxa constante ω 2 = 4   r a d / s em relação ao grampo, que, por sua vez, gira à taxa constante ω 1 = 3   r a d / s em torno do eixo Y . Para a posição mostrada na figura, determine (a) a velocidade do ponto D , (b) a aceleração do ponto D .

Passo 1

Este exercício nos pede a velocidade e aceleração de D . Vamos organizar nossos dados do enunciado. Temos que:

ω 1 = 10   r a d / s

α = 25   r a d / s 2

v D / F = 1,5   m / s

a D / F = 3   m / s 2

Portanto, teremos que:

Ω = ω 1 = 10   r a d / s i

Ω ˙ = - 25   r a d / s 2 j

Sabemos que a velocidade escalar do ponto D é dada por:

v D = v D ' + v D / F

Onde:

v D ' = Ω × r D / C

Portanto, precisamos descobrir r D / C .

Vamos aos cálculos.

Passo 2

Temos o seguinte vetor posição:

r D / C = 200 cos ⁡ 30 ° i - 200 sen ⁡ 30 ° j

r D / C = 173,21   m m i - 100   m m j

r D / C = 0,17321   m i - 0,1   m j

Portanto:

v D ' = Ω × r D / C

v D ' = 10 j × 0,17321   m i - 0,1   m j

v D ' = - 1,7321   m / s k  

A velocidade relativa entre D e C D pode ser representada na forma vetorial:

v D / F = 1,5 sen ⁡ 30 ° i + 1,5 cos ⁡ 30 ° j

v D / F = 0,75   m / s i + 1,299   m / s j

Logo, a velocidade escalar do ponto D será:

v D = v D ' + v D / F

v D = - 1,7321   m / s k + 0,75   m / s i + 1,299   m / s j

v D = 0,75   m / s i + 1,299   m / s j + - 1,7321   m / s k

Passo 3

Para a aceleração do ponto D , temos que:

a D = a D ' + a D / F + 2 Ω × v D / F

Temos que:

a D ' = Ω ˙ × r D / C   + Ω × v D '  

Portanto:

a D ' = - 25 j × 0,17321 i - 0,1 j + 10 j × - 1,7321 k

a D ' = 4,3301   m / s 2 k - 17,321   m / s 2 i

Temos também que:

a D / F = a D / F l + a D / F n

Onde:

a D / F l = - 3 sen ⁡ 30 ° i - 3 cos ⁡ 30 ° j

a D / F l = - 1,5   m / s 2 i - 2,598   m / s 2 j

E:

a D / F n = v D / F 2 r

a D / F n = 1,5 2 0,2

a D / F n = 11 , 25   m / s 2

Logo:

a D / F n = - 11,25 cos ⁡ 30 ° i + 5,625 sen ⁡ 30 ° j

a D / F n = - 9,743   m / s 2 i + 5,625   m / s 2 j

Portanto:

a D / F = a D / F l + a D / F n

a D / F = - 1,5   m / s 2 i - 2,598   m / s 2 j + - 9,743   m / s 2 i + 5,625   m / s 2 j

a D / F = - 11,242   m / s 2 i + 3,207   m / s 2 j

Passo 4

Portanto:

a D = a D ' + a D / F + 2 Ω × v D / F

a D = 4,3301   m / s 2 k - 17,321   m / s 2 i + - 11,242   m / s 2 i + 3,207   m / s 2 j + 2 10 j × 0,75   m / s i + 1,299   m / s j

Resolvendo, temos que

a D = - 28,6   i + 3,21 j - 10,67 k   m / s 2

Resposta

v D = 0,75   m / s i + 1,299   m / s j + - 1,7321   m / s k

a D = - 28,6   i + 3,21 j - 10,67 k   m / s 2

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