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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 25

Um bloco de massa m = 1,62   k g desliza para baixo sobre uma pista inclinada sem atrito (Figura 2.A). EIe é liberado a uma altura h = 3,91   m acima da base do loop.

(a) Qual é a força da pista inclinada sobre o bloco na base (ponto A)?

(b) Qual é a força da pista sobre o bloco no ponto B?

(c) Qual será a velocidade do bloco ao deixar a pista?

(d) A qual distância do ponto A o bloco aterrissará no chão?

(e) Elabore um gráfico da energia potencial U ( x ) do bloco. Indique a energia total no gráfico.

Passo 1

E aí galera, vamos iniciar mais uma questão do nosso livro!

Primeiramente vamos anotar alguns dados importantes fornecido na questão:

m a s s a   d o   b l o c o = m = 90   k g

h = 3,91   m

Primeiramente observe que antes de deslizar a energia do bloco é apenas uma energia potencial igual a m g h mas quando começa a deslizar ganha uma aceleração e uma energia cinética.

Letra a)

No ponto A, as forças atuantes no bloco são:

A pista contraria a força gravitacional e fornece aceleração centrípeta.

N - m g = m v 2 R

Pegaremos v por conservação de energia:

E t o p o = T t o p o + U t o p o = 0 + m g h

E A = T A + U A = 1 2 m v 2 + 0

E t o p o = E A → v = 2 g h

Então:

N = m g + 2 m g h R

N = m g + ( 1 + 2 h R )

Passo 2

No ponto B a força da pista no bloco também é uma força normal para cima como no ponto A, então a equação de movimento de Newton:

N - m g cos ⁡ 45 °   = m v 2 R

Como na parte A encontramos a velocidade usando a conservação da energia. O diferente aqui será que o bloco tem energia potencial e energia cinética.

m g h = 1 2 m v 2 + m g l '

Onde l ' é a altura do ponto B a partir do solo e, usando geometria simples, obtemos como:

l ' = R ( 1 - 1 2 )

Então, nós temos:

v 2 = 2 g ( h - R 1 - 1 2 )

Assim:

N = m g 2 + m v 2 R

m g = 2 + 2 g h - R 1 - 1 2 R

m g = 2 + 2 h R - 2 + 2 2

m g = 2 h R + 2 2 - 2

Passo 3

Letra (c)

Da parte b, a velocidade do bloco no ponto B é:

v 2 = 2 g ( h - R 1 - 1 2 )

Passo 4

Letra (d)

Para lidar com este problema vamos considerá-lo como um problema de projétil com velocidade inicial.

v 2 = 2 g ( h - R 1 - 1 2 )

E com um ângulo θ = 45 ° .

x = R 2 + v 2 t

E

y = l ' + v 2 t - g t 2 2

Resolva a equação y para t quando y   =   0 , temos:

2 l ' + 2 v t - g t 2 = 0

t = 2 + 2 v 2 ± 8 g l ' 2 g

Assim desprezaremos a solução negativa.

Neste momento, o bloco cairá no chão, então, por substituição na equação x , obtemos o alcance do bloco a partir do ponto A.

x = R 2 + v 2 t

= R 2 + v 2   2 v + 2 v 2 ± 8 g l ' 2 g

Passo 5

Letra (e)

O potencial U ( x ) tem a forma de trilha

Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

Letra (a)

N = m g + ( 1 + 2 h R )

Letra (b)

N = m g = 2 h R + 2 2 - 2

Letra (c)

v 2 = 2 g h - R 1 - 1 2   o u   v = v = 2 g h - R 1 - 1 2

Letra (d)

x = R 2 + v 2   2 v + 2 v 2 ± 8 g l ' 2 g

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