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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinamica Classica de Particulas e Sistemas - Marion- Ed: 5º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 8

Um projétil é disparado com velocidade v 0 de modo a passar entre dois pontos a uma distância h acima da horizontal. Mostre que, se a arma for ajustada para alcance máximo, a separação entre os pontos é:

d = v 0 g v 0 2 - 4 g h

Passo 1

E aí galera, vamos iniciar mais uma questão do nosso livro!

Lembrando das equações do movimento, temos:

S = v 0 t + 1 2 g t 2

v = v 0 + a t

Por substituição ao longo do eixo x temos:

x = v 0 t + 1 2 a x t 2

Se a x = 0 , nós temos:

x = v 0 cos ⁡ θ t

Dessa forma para o eixo y nós temos:

v = v 0 s in ⁡ θ a y t

Como na altura máxima v = 0 , t = t / 2 e a = - g , então temos:

v 0 sin ⁡ θ = g t 2

Portanto t = 2 v 0 sin ⁡ θ / g .

Por substituição t na equação temos:

x = v 0 cos ⁡ θ 2 v 0 sin ⁡ θ g   = 2 sin ⁡ ( θ ) cos ⁡ ( θ ) v 0 2 g = v 0 2 g sin ⁡ 2 θ

Afim de ajustar a arma para o alcance máximo, então sin ⁡ 2 θ = 1

Portanto θ = 45 °  

Então nós temos:

x = v 0 2 g

Passo 2

Agora vamos ao próximo passo, temos que:

d = x - 2 r

r = v 0 cos ⁡ θ t 2 = v 0 2

Onde t 2   é o tempo que projetil leva para atingir y = h , assim temos:

h = v 0 2 t 2 - 1 2   g t 2 2

resolvendo para t 2 , teremos:

t 2 = v 0 2 ± v 0 2 2 - 2 g h g

Por substituição, resolvendo para termos de r   teremos:

r = v 0 2 v 0 2 ±   v o 2 2 - 2 g h   g    

Por substituição para encontrar d , temos:

d = x - 2 r = v 0 2 g - v 0 2 2 g ± 2 v 0 g v 0 2 g - 2 g h =   ± v 0 g v 0 2 - 4 g h

Escolheremos para o caso a solução positiva:

d = v 0 g v 0 2 - 4 g h

Finalizamos aqui nossa questão, tudo beleza? Te vejo na próxima!

Resposta

d = v 0 g v 0 2 - 4 g h

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