Blocos uniformes com um comprimento L , e massa m são empilhados uns sobre os outros, com cada bloco ultrapassando o outro por uma distância d , conforme mostrado. Mostre que o número máximo de blocos que podem ser empilhados dessa maneira é n < L / d .

Passo 1

O problema pede que encontremos o maior número de blocos sendo que n < L / d .

Pense assim, quando o centro de massa dos blocos ultrapassar o tamanho do bloco de baixo ( L ), a estrutura deixara se ser estável, porque a força peso atua no centro de massa.

E o centro de massa é dado por:

x - = x 1 - ⋅ m 1 + x 2 - ⋅ m 2 + x 3 - ⋅ m 3 … m T

E pra facilitar, vou dar um dica importante: Quando o corpo é simétrico em um eixo e o corpo tem sua massa distribuída uniformemente, o centro de massa será no centro do corpo em relação ao eixo, a imagem agora vai facitilar muito sua vida:

Passo 2

Agora vamos calcular os centros de massa de cada bloco, vamos considerar os bloco de baixo pra cima 1 , 2 e 3 … respectativamente, então, vamos para calculo:

x - 1 = L 2

x - 2 = L 2 + d

x - 3 = L 2 + 2 d

Então notamos que:

x - n = L 2 + ( n - 1 ) d

Agora, vamos calcular o centro de massa para algumas quantidade de blocos, mas apenas dos blocos acima do primeiro bloco, pra facilitar logo vamos usar o peso W , ao invés de da massa:

n → 2 :     x - = L 2 + d = L 2 + 2 d 2

n → 3 :     x - = d + L 2 W + 2 d + L 2 W 2 W = L 2 + 3 d 2

A gente pode notar a sequência de resultados e generalizar:

x - = L 2 + n d 2

Passo 3

Agora vamos usar essa generalização para ver até onde a estrutura continuará estável, ou seja, o centro de massa x - não pode ultrapassar L .

x - = L 2 + n d 2 ≤ L

Resposta

x - = L 2 + n d 2 ≤ L

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