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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 150

Um rolo compacto de papel de embrulho com um raio inicial r o é liberado a partir do repouso em um declive e é deixado se desenrolar com a extremidade livre presa no ponto mais alto. Determine a velocidade do rolo em função da distância x por meio da qual ele se desclocou para baixo no declive. O comprimento total do papel no rolo é L .

Passo 1

Para o sistema em questão, temos

U ' = ∆ T + ∆ V = 0

Calculando separadamente as variações de energia

∆ T = 1 2 I - ω 2 + 1 2 m v - ²

Mas I - = 1 / 2 m r ² , logo

∆ T = 1 4 m v 2 + 1 2 m v - 2 = 3 4 m v 2 = 3 4 ρ L - x v ²

Para a energia potencial,

∆ V = ∆ V g + ∆ V e ⏟ n u l o

∆ V = ∆ V g =   - ρ g L - x x s e n θ ⏟ p o n t o   m a i s   b a i x o - ρ g x x 2 s e n θ

Agrupando os termos comuns, chegamos em

∆ V g = - ρ g x s e n θ L - x 2

Passo 2

Retomando a equação que relaciona trabalho e energia, temos

0 = 3 4 ρ L - x v 2 - ρ g x s e n θ L - x 2

Reorganizando e isolando v , temos

v = 2 x g s e n θ 6 2 L - x L - x   2

Resposta

v = 2 x g s e n θ 6 2 L - x L - x   2

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