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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 23

23. A boia cilíndrica flutua em água salgada (massa específica de 1030   k g / m 3 ) e possui uma massa de 800   k g , com um centro de massa baixo para mantê-la estável na posição vertical. Determine a frequência f n de oscilação vertical da boia. Suponha que o nível da água permanece sem perturbação na vizinhança da boia.

Passo 1

Bom, primeiro a gente vai montar o diagrama de corpo livre pra boia:

E o que é esse " E " no diagrama? Ele é o Empuxo que agr na boia q flutua e sua fórmula é:

E = μ l í q ⋅ V i ⋅ g

Onde μ l í q é a massa específica do liquido, V i é o volume imerso e g a gravidade local.

E como descobriremos o valor do volume imerso? Como a boia é cilindríca, vamos usar a fórmula da base vezes a altura, onde a altura será o valor de y :

V i = π r 2 y

Onde r é o raio da deção transversal. Como o diâmetro é 0,6   m , o reaio será 0,3   m .

O valor do Empuxo E será:

E = ( 1030 k g / m 3 ) ( π 0,3 2 y   m 3 ) ( 9,81 m / s 2 )

E = 2856,92 y   N

Passo 2

Agora faremos o somatório de forças no eixo y :

∑ F y = m y ¨

A soma é diferente de zero, pois está flutuando, ou seja, há oscilação.

m g - ( m g + E ) = m y ¨

Rearranjando a expressão:

y ¨ + E m = 0

y ¨ + 2856,92   N 800   k g y = 0

Sabemos que a equação genérica para um movimento harmônico:

y ¨ + k m y = 0

Portanto:

k m = 2856,92   N 800   k g

E sabemos também que:

ω n = k m

Substituindo os valores para encontrar ω n :

ω n = 2856,92   N 800   k g

ω n = 3,57

∴ ω n = 1,89   r a d / s

Passo 3

Agora, vamos calcular a frequência pela fórmula:

f n = ω n 2 π

f n = 1,89   r a d / s 2 π

∴ f n = 0,301   H z

Resposta

A frequência de oscilação da boia será:

f n = 0,301   H z

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