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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 17

Uma bola é jogada para cima com uma velocidade de 5 m/s do topo de um prédio de 10 m de altura. Um segundo mais tarde, outra bola é jogada verticalmente a partir do chão com uma velocidade de 10 m/s. Determine a altura a partir do chão onde as bolas passam uma pela outra.

Passo 1

Neste problema, estamos encarando ambas bolas como pontos materiais.

Cada uma das bolas possuirá uma equação própria para descrever o seu movimento.

No caso, estamos frente a um problema com aceleração constante! Então, podemos usar as nossas formulas para a velocidade e a posição:

v = v 0 + a t

s = s 0 + v 0 t + 1 2 a t 2

O truque consiste em escrever a equação do movimento para ambas bolas e a seguir igualar os s de ambas.

Passo 2

Uma das bolas (digamos, a bola A ) é jogada para cima com v 0 = 5 , s 0 = 10 e a = - g = - 9,81 (sinal negativo pois a gravidade atura para baixo)

Agora, para descrever a posição da bola, basta utilizar a fórmula:

s = s 0 + v 0 t + 1 2 a t 2

Assim, a equação do movimento para esta bola ficou a seguinte:

s A = 10 + 5 t A - 1 2 9,81 t A 2

Passo 3

Agora, para descrever o movimento da outra bola (digamos bola B ), procedemos da mesma forma:

s = s 0 + v 0 t + 1 2 a t 2

Mas, neste caso v 0 = 10 , s 0 = 0 e a = - g = - 9,81 (sinal negativo pois a gravidade atura para baixo).

Assim, a equação do movimento para esta bola ficou a seguinte:

s B = 10 t B - 1 2 9,81 t B 2

TEM PEGADINHA! t A não é igual a t B ! De fato, como a bola B é lançada um segundo depois, temos ( t B = 0 quando t A = 1 ):

t A = 1 + t B

Passo 4

Agora, quando que as duas bolas se encontram mesmo? Quando as suas posições ficam iguais!

s A = s B = s

Dai,

10 + 5 t A - 1 2 9,81 t A 2 = 10 t B - 1 2 9,81 t B 2

Substituindo t A = 1 + t B , ficamos com

10 + 5 1 + t B - 1 2 9,81 1 + t B 2 = 10 t B - 1 2 9,81 t B 2

Dá um trabalho, mas podemos simplificar e reescrever tudo isso aí como uma equação bem simples:

10,095 = 14,81 t B

Logo, t B = 0,6816 . Portanto,

s = s B = 10 t B - 1 2 9,81 t B 2 = 4,54   m

Resposta

s = 4,54   m

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