Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 113
Uma bola de massa é guiada ao longo da trajetória circular vertical usando o braço . Se o braço tem velocidade angular constante determine o ângulo no qual a bola começa a deixar a superfície do semicilindro. Despreze o atrito e a dimensão da bola.
Passo 1
O enunciado nos dá as seguintes informações:
Massa da bola:
Velocidade angular constante:
Trajetória:
Raio do semicilindro:
Trajetória circular vertical.
A questão pede para determinarmos o ângulo no qual a bola começa a deixar a superfície do semicilindro.
A bola começa a deixar a superfície do semicilindro quando a força tende a zero, ou seja, quando a bola estiver na iminência de perder o contato com a superfície. Portanto, podemos considerar que .
Desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre:
Onde é a força normal, é a força exercida pela barra e é a força peso.
Lembre-se de que a força normal é perpendicular à tangente do movimento. Como o movimento corresponde à um semi circulo de raio , a direção de será a mesma do raio deste semi círculo.
Passo 2
Primeiramente, vamos encontrar as derivadas temporais
Em :
Em , sabemos que é constante, logo
Passo 3
Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas e são dadas por
Logo,
Passo 4
Agora vamos descobrir o ângulo com que a força normal é aplicada à bola.
Pela análise trigonométrica do seguinte triângulo, vemos que se trata de um triângulo isósceles onde e são os ângulos de base. Portanto,
Passo 5
Aplicaremos as Equações do Movimento.
Analisando no eixo , temos que