Uma bola de massa m é guiada ao longo da trajetória circular vertical r = 2 r c cos ⁡ θ usando o braço O A . Se o braço tem velocidade angular constante θ ˙ 0 determine o ângulo θ ≤ 45 ° no qual a bola começa a deixar a superfície do semicilindro. Despreze o atrito e a dimensão da bola.

Passo 1

O enunciado nos dá as seguintes informações:

Massa da bola: m

Velocidade angular constante: θ ˙ 0

Trajetória: r = 2 r c cos ⁡ θ

Raio do semicilindro: r c

Trajetória circular vertical.

A questão pede para determinarmos o ângulo θ ≤ 45 ° no qual a bola começa a deixar a superfície do semicilindro.

A bola começa a deixar a superfície do semicilindro quando a força N tende a zero, ou seja, quando a bola estiver na iminência de perder o contato com a superfície. Portanto, podemos considerar que N = 0 .

Desenhamos o seguinte diagrama de corpo livre:

Onde N é a força normal, F O A é a força exercida pela barra e W = m g é a força peso.

Lembre-se de que a força normal é perpendicular à tangente do movimento. Como o movimento corresponde à um semi circulo de raio r c , a direção de N será a mesma do raio deste semi círculo.

Passo 2

Primeiramente, vamos encontrar as derivadas temporais

Em r :

r = 2 r c cos ⁡ θ m

r ˙ = d r d t = - 2 r c θ ˙ sen ⁡ θ   m / s

r ¨ = d 2 r d t 2 = - 2 r c θ ˙ 2 cos ⁡ θ - 2 r c θ ¨ sen ⁡ θ   m / s 2

Em θ , sabemos que θ ˙ = θ ˙ 0 é constante, logo

θ ¨ = d θ ˙ d t = 0   r a d / s 2

Passo 3

Sabemos que as componentes da aceleração nas coordenadas r e θ são dadas por

a r = r ¨ - r θ ˙ 2

a θ = r θ ¨ + 2 r ˙ θ ˙

Logo,

a r = - 2 r c θ ˙ 2 cos ⁡ θ - 2 r c θ ¨ sen ⁡ θ - 2 r c cos ⁡ θ θ ˙ 2 = - 4 r c θ 0 ˙ 2 cos ⁡ θ

a θ = - 4 r c θ 0 ˙ 2 sen ⁡ θ

Passo 4

Agora vamos descobrir o ângulo com que a força normal é aplicada à bola.

Pela análise trigonométrica do seguinte triângulo, vemos que se trata de um triângulo isósceles onde θ e α são os ângulos de base. Portanto,

θ = α

Passo 5

Aplicaremos as Equações do Movimento.

Analisando no eixo r , temos que

∑ F r = m a r

N cos ⁡ α - W sen ⁡ θ = m a r

0 - m g sen ⁡ θ = m a r

- g sen ⁡ θ = - 4 r c θ 0 ˙ 2 cos ⁡ θ

sen ⁡ θ cos ⁡ θ = tan ⁡ θ = 4 r c θ 0 ˙ 2 g

θ = tan - 1 ⁡ 4 r c θ 0 ˙ 2 g

Resposta

θ = tan - 1 ⁡ 4 r c θ 0 ˙ 2 g

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