O cursor A de 3   k g se encaixa com folga na ranhura lisa de 45 ° no disco, que gira em um plano horizontal em torno do seu centro O . Se A é mantido em posição por um cordão fixo no ponto B , determine a tração T no cordão para uma velocidade rotacional constante θ ˙ = 300   r p m . A direção da velocidade faria alguma diferença?

Passo 1

A chave da questão é pensar o seguinte: para que A seja mantido na sua posição, ele precisa acompanhar o movimento circular do disco.

Para que A acompanhe o movimento circular do disco, ele precisa de uma aceleração centrípeta que dê para a ele a mesma velocidade angular θ ˙ do disco.

Passo 2

Para calcular qual é essa aceleração centrípeta, primeiro precisamos converter a velocidade angular para radianos por segundo:

θ ˙ = 300   r p m = 300 2 π 60 = 31,4   r a d / s

E então a aceleração centrípeta é:

a c = r θ ˙ 2

a c = 0,15 31,4 2 = 148   m / s 2

Passo 3

Ok, mas o que isso tem a ver com o cordão? Bom, é ele quem vai fornecer parte da aceleração centrípeta (as paredes do disco também cumprem um papel).

Vamos aplicar a segunda lei de Newton sobre a linha pontilhada na figura:

A soma das forças na direção dessa linha é igual a componente da aceleração na direção dessa linha, ou seja:

∑ F = m a

T = m a c cos ⁡ 45 °

T = 148 cos ⁡ 45 ° = ( 3 ) 148 2 2

T = 314   N

Passo 4

Agora falta avaliar se uma mudança na direção da rotação geraria uma diferença nesse resultado.

Bom, vamos olhar de novo para a fórmula que nós usamos:

T = m a c cos ⁡ 45 °

T = m r θ ˙ 2 cos ⁡ 45 °

Mudar a direção da rotação é a mesma coisa que trocar o sinal do θ ˙ , mas como ele está elevado ao quadrado, sabemos que o sinal vai “sumir”!

Fisicamente, isso é compreensível, porque mudar a direção do movimento nesse caso é como ver o movimento através de um espelho: os valores não deveriam mudar.

Resposta

A tração da corda é de 314   N e a mudança na direção da velocidade não alteraria esse resultado.

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