O pequeno objeto de massa m é colocado sobre a superfície cônica giratória no raio mostrado. Se o coeficiente de atrito estático entre o objeto e a superfície rotativa é 0,8 , calcule a máxima velocidade angular ω do cone em torno do eixo vertical para a qual o objeto não deslizará. Suponha uma variação da velocidade angular muito gradual.

Passo 1

Como a variação da velocidade angular é muito gradual, podemos desprezar os efeitos da aceleração angular.

Vamos desenhar as forças que atuam sobre o bloco:

Para atender às condições do enunciado precisamos das seguintes igualdades:

∑ F y = 0

∑ F n = m r ω 2

Onde y é a direção vertical e n é a horizonal, que contém o centro da trajetória circular.

Então beleza, vamos desenvolver nossa solução a partir dessas equações.

Passo 2

As forças na direção vertical são:

∑ F y = N cos ⁡ θ + F a t sen ⁡ θ - m g = 0

E na direção horizontal:

∑ F n = - N sen ⁡ θ + F a t cos ⁡ θ = m r ω 2

E podemos reescrever a força de atrito como:

F a t = N μ s

Então nosso sistema de equações vira:

N cos ⁡ θ + μ s sen ⁡ θ = m g   ( i )

N - sen ⁡ θ + μ s cos ⁡ θ = m r ω 2 ( i i )

Para resolver nosso sistema, têm várias formas, vou dividir a segunda equação pela primeira, pois assim fica mais fácil colocar a nossa velocidade angular ( ω ) em evidência e vamos poder cortar os termos N e m .

Vamos ficar então com o seguinte, dividindo ( i i ) por ( i ):

ω 2   r g = - sen ⁡ θ + μ s cos ⁡ θ cos ⁡ θ + μ s sen ⁡ θ

ω = g r ( - sen ⁡ θ + μ s cos ⁡ θ ) cos ⁡ θ + μ s sen ⁡ θ

E agora é só substituir os valores numéricos:

ω = ( 9,81 ) ( 0,2 )     ( - sen ⁡ 30 ° + ( 0,8 ) cos ⁡ 30 ° ) cos ⁡ 30 ° + ( 0,8 ) sen ⁡ 30 °

ω = 2,73   r a d / s

Resolvido!

Resposta

A velocidade angular máxima do cone é ω = 2,73   r a d / s .

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