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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 43

Uma bola tendo uma massa de 8 kg e velocidade inicial v 1 = 0,2   m / s rola sobre uma depressão de 30 mm de comprimento. Supondo que a bola rola pelas arestas de contato primeiro A, depois B, sem deslizar, determine sua velocidade final v 2 quando ela alcança o outro lado.

Passo 1

Começaremos o exercício escrevendo a velocidade angular da bola nos instantes 1 e 2 ilustrados na figura a seguir, bem como o valor do ângulo θ e da altura h:

ω 1 = 0,2 0,125 = 1,6   r a d / s

ω 2 = v 2 0,125 → ω 2 = 8 v 2

θ = s e n - 1 0,015 0,125 → θ = 6,8921 °

h = 0,125 - 0,125 c o s θ = 0,125 - 0,125 c o s ⁡ ( 6,8921 ° )

h = 0,90326   m m

Passo 2

Agora podemos aplicar a equação da conservação da energia para os instantes 1 e 2, sendo assim:

1 2 8 0,2 2 + 1 2 2 5 8 0,125 2 1,6 2 + 0 = - 0,90326 10 - 3 8 9,81 + 1 2 8 ω 2 0,125 2 + 1 2 2 5 8 0,125 2 ω 2

ω = 1,836   r a d / s

Agora iremos aplicar a conservação da quantidade de movimento angular para os instantes 2 e 3 ao redor do ponto B, conforme ilustrado na imagem a seguir:

H B 2 = H B 3

2 5 8 0,125 2 1,836 + 8 1,836 0,125 cos ⁡ 6,892 ° 0,125 c o s 6,8962 ° - 8 0,22948 s e n 6,8962 ° 0,125 s e n 6,892 ° = 2 5 8 0,125 2 ω 3 + 8 0,125 ω 3 ( 0,125 )

ω 3 = 1,798   r a d / s

Passo 3

Agora podemos aplicar a equação da conservação da energia para os instantes 3 e 4 conforme a imagem a seguir:

T 3 + V 3 = T 4 + V 4

1 2 2 5 8 0,125 2 1,798 2 + 1 2 8 1,798 2 0,125 2 + 0 = 8 9,81 0,90326 10 - 3 + 1 2 2 5 8 0,125 2 ω 4 2 + 1 2 8 ω 4 2 0,125 2

ω 4 = 1,56   r a d / s

Por fim, podemos encontrar v 2 :

v 2 = 1,56 0,125 → v 2 = 0,195   m / s

Resposta

v 2 = 0,195   m / s

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