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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 81

Uma haste delgada AB de comprimento / = 600 mm e massa desprezível é conectada a dois colares, cada um com 8 kg de massa. O colar A está preso a uma mola de constante k = 1.2 kN/m e. pode deslizar em uma haste vertical, enquanto o colar B pode deslizar livremente em uma haste horizontal. Sabendo que o sistema está em equilíbrio e que θ = 40 ∘ , determine o período de vibração se o colar A receber um pequeno deslocamento e for liberado.

Passo 1

O exercício pede que a gente determine o período de vibração se o colar A receber um pequeno deslocamento e for liberado. Vem comigo 😊

Haste horizontal

Y = l s i n ⁡ θ

δ y = l c o s ⁡ θ δ θ δ g = l c o s ⁡ θ δ θ ˙

x = l c o s ⁡ θ

δ x = - l s i n ⁡ θ δ θ δ x = - l s i n ⁡ θ δ θ ˙

Passo 2

Posição 1 (máxima velocidade, δ θ ˙ m )

T 1 = 1 2 m δ y ˙ m 2 + 1 2 m δ x ˙ m 2 T 1 = 1 2 m ( l c o s ⁡ θ ) 2 + ( l s i n ⁡ θ ) 2 δ θ ˙ m 2

T 1 = 1 2 m l 2 δ θ ˙ m 2 V 1 = 0

Passo 3

Posição 2 (velocidade zero, máximo δ θ )

T 2 = 0 V 2 = 1 2 k δ y m 2

Conservação de energia T 1 + V 1 = T 2 + V 2

1 2 m l 2 δ θ ˙ m 2 + 0 = 1 2 k δ y m 2

δ y m = l c o s ⁡ θ δ θ m

m l 2 δ θ ˙ m 2 = k l 2 c o s 2 ⁡ θ δ θ m 2

Movimento harmônico simples δ θ = δ θ m s i n ⁡ ω n t + ϕ

δ θ ˙ m = δ θ m ω n

m l 2 δ θ m 2 ω n 2 = k l 2 c o s 2 ⁡ θ δ θ m 2

ω n 2 = k m c o s 2 ⁡ θ

ω n 2 = 1200 N / m 8 k g c o s 2 ⁡ 40 = 88.02 s - 2

Período de vibração τ n = 2 π ω n = 2 π 88.02 = 0.6697 s

τ n = 0.670 s

Resposta

τ n = 0.670 s

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