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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 49

Para a placa triangular equilateral uniforme de lado l = 300 mm, determine o período de pequenas oscilações se a placa estiver suspensa em (a) um de seus vértices e (b) no ponto médio de um de seus lados.

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o período de pequenas oscilações se a placa estiver suspensa em (a) um de seus vértices e (b) no ponto médio de um de seus lados. Para um triângulo equilátero

h = 3 2 b ,         A = 1 2 b                   h = 3 4 b 2

I - x = 1 36 b h 3 = 1 36 l 3 2 l 3 = 3 96 l 4

I - y = 2 - 1 12 h b 2 3 = 1 6 3 2 I 2 3 = 3 96 l 4

I - z = I → x + I - 4 = 3 48 l 4

k → 2 = I - 2 A = 1 12 l 2 = 1 12 ( 0.300 ) 2 = 0.0075 m 2

Passo 2

Deixe r a distância do ponto de suspensão do centro de massa

Equação do movimento + ) Σ M 0 = + Σ M 0 e l f : - m g e s i n ⁡ θ = r ( m r → θ ¨ ) + I → θ ¨

Em que I ~ = m k - 2

Para pequenos ângulos - m r g θ = m r 2 + k - 2 θ ¨

θ ¨ + g r r 2 + k - 2 θ = 0

Frequência natural ω n 2 = g r r 2 + k - 2

Passo 3

(a) placa suspensa pelo vértice

r = 2 3 h = 2 3 3 l = 2 3 3 2 ( 0,3 m ) = 0.173205 m

r 2 = 0.03 m 2

ω n 2 = ( 9.81 ) ( 0.173205 ) 0.03 + 0.0075 = 45.31

ω n = 6.7313 r a d / s

τ = 2 π ω n

τ = 0.933 s

Passo 4

(b) placa suspensa pelo ponto do meio de um lado

r = 1 3 h = 1 3 3 2 l = 1 3 3 2 = 0.0866025 m

r 2 = 0.0075 m 2

ω n 2 = ( 9.81 ) ( 0.0866025 ) 0.0075 + 0.0075 = 56.64

ω n = 7.5258 r a d / s

τ = 2 π ω h

τ = 0.835 s

Resposta

(a)   τ = 0.933 s

(b) τ = 0.835 s

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