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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 19.Problemas - Ex. 51

Um pequeno colar pesando 2 lb é rigidamente preso a uma haste uniforme de 6 lb de comprimento. L = 3 pés. Determine (a) a distância d para maximizar a frequência de oscilação quando a barra recebe um pequeno deslocamento inicial, (b) o período de oscilação correspondente

Passo 1

O eunciado pede que a gente determine (a) a distância d para maximizar a frequência de oscilação quando a barra recebe um pequeno deslocamento inicial, (b) o período de oscilação correspondente

Equação de movimento

Σ M A ≃ Σ M λ e f r : + - W R L 2 s i n ⁡ θ - W C d s i n ⁡ θ = I - R α + m k L 2 a t R + m C d a t C

s i n ⁡ θ ≈ θ α = θ ¨ , a - t R = L 2 α = L 2 θ ¨ , a t C = d α = d θ ¨

I - R + m R L 2 2 + m C d 2 θ ¨ + m k g L 2 + m C g d θ = 0

I → R = 1 12 m R L 2

I - R + m R L 2 2 = m R L 2 3

m R L 2 3 + m C d 2 θ ¨ + m R g L 2 + m C g d θ = 0

θ ¨ + 1 2 + m C m R d g l 2 3 + m c m R d 2 θ = 0

m C m R = W C W R ÷ 2 6 L = 3 f t

θ ¨ + 3 2 + 1 3 d g 3 + 1 3 d 2 θ = 0

Frequência natural

ω n 2 = 3 2 + 1 3 d g 3 + 1 2 d 2 = ( 4.5 + d ) g 9 + d 2

Passo 2

(a) Para maximizar a frequência, temos que derivar A igual a zero

1 g d ω n 2 d t = 9 + d 2 ( 1 ) - ( 4.5 + d ) ( 2 d ) 9 + d 2 2 = 0

d 2 + 9 - 9 d - 2 d 2 = 0

d 2 + 9 d - 9 = 0

Resolva para d

d = 0.9083   o u   - 9.908 d ≃ 0.908 f t

d = 10.90 i n

ω n 2 = ( 4.5 + 0.9083 ) ( 32.2 ) 9 + ( 0.9083 ) 2 = 17.72 5

ω n = 4.210 r a d / s

Passo 3

(b) período de oscilação

τ n = 2 π ω n = 2 π 4.210

τ n = 1.492 s

Resposta

(a)   ω n = 4.210 r a d / s

(b)   τ n = 1.492 s

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