Enunciado

O braço uniforme O A tem uma massa de 4   k g , e a engrenagem D tem uma massa de 5   k g com um raio de giração ao centro de 64   m m . A engrenagem maior B é fixa e não pode girar. Se o braço e a engrenagem menor são liberados a partir do repouso na posição mostrada no plano vertical, calcule a aceleração angular inicial α de O A .

Passo 1

O trabalho do sistema é calculado por

d U ' = d T + d V g

d U ' = ∑ m i a i d s i + ∑ I i α i d θ i + ∑ m i g d h i

Para o suporte, temos:

a - = 0,3 2 α

d s - = 0,3 2 d θ

d h = - 0,3 2 d θ

O momento de inércia de massa para o suporte é dado por

I - = 1 12 4 0,3 2 = 0,03   k g . m 2

Logo, anergia cinética do suporte será igual a

d U s u p ' = 4 0,3 2 α 0,3 2 d θ + 0,03 α d θ - ( 4 ) ( 9,81 ) 0,3 2 α

d U s u p ' = 0,12 α d θ - 5,89 d θ

Passo 2

Por outro lado para a engrenagem D , temos:

a - = a A = 0,3 α

d s - D = 0,3 d θ

d h = - 0,3 d θ

α D = 3 α

d θ D = 3 d θ

Então o momento de inercia de masssa da engrenagem D é igual a

I - = m k - 2 = 5 0,064 2 = 0,0205   k g . m 2

Logo, a energia cinética da engrenagem D é obtida por

d U e n g D ' = 5 0,3 α 0,3 d θ + 0,0205 3 α 3 θ - 5 9,81 0,3 d θ

d U e n g D ' = 0,634 α d θ - 14,72 d θ

Passo 3

Então, o trabalho total será

d U ' = d U s u p ' + d U e n g D ' = 0

0,12 α d θ - 5,89 d θ + 0,634 α d θ - 14,72 d θ = 0

Portanto,

α = 27,3   r a d / s 2

Resposta

Aceleração angular inicial α de O A é igual a 27,3   r a d / s 2 .

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