Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 109
Se o cabo de de comprimento tem uma massa por unidade de comprimento de , determine a equação da curva catenária do cabo e a tração máxima desenvolvida no cabo.
Passo 1
O problema quer que a gente encontre equação da curva e a tração máxima no cabo.
Vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre, assim:
Onde o carregamento pode ser descrito como:
Percebeu aí que o problema não deu o peso por unidade de comprimento e sim a massa, por isso eu multipliquei pela gravidade, cuidado com isso, as vezes aparece.
Passo 2
Nós notamos que na figura do problema, é o ponto mais baixo do cabo, vamos pegar a segunda derivada da equação do cabo, logo:
Se nós consideramos , então , logo:
E integrando isso:
Vamos encontrar , pra isso a gente usa a condição inicial, de que na origem, e então:
Logo é igual a .
Ficamos com:
Agora, vamos dar uma ajeitada e tentar simplicar isso, calma, eu sei que parece muito estranho:
Agora lembra que , aí ficamos com:
Integramos mais uma vez para chegarmos na função não derivada:
Testando a equação na condição inicial, onde e , encontramos que:
Logo, ficamos com:
Passo 3
Tá quase acabando, vamos agora pegar o diagrama do corpo livre, assim:
E usamos as equações de equilíbrio nos dois eixos:
Eliminando , temos:
Passo 4
Então igualamos a equação derivada:
Assim encontramos:
Substitumos o por , e já sabemos que o comprimento é :
Logo, achamos por tentativa e erro que:
E substituímos na função que já tínhamos encontrado:
Passo 5
Agora, para achamos a tração máxima, a gente sabe que ela ocorre no maior ângulo, e visualmente percebemos que são nos pontos e , então podemos usar qualquer um.
Lembramos que a derivada é a tangente de um ângulo, logo:
Por fim, achamos a tração máxima: