Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia Estática - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 109

Se o cabo de de comprimento tem uma massa por unidade de comprimento de , determine a equação da curva catenária do cabo e a tração máxima desenvolvida no cabo.

Passo 1

O problema quer que a gente encontre equação da curva e a tração máxima no cabo.

Vamos começar fazendo um diagrama de corpo livre, assim:

Onde o carregamento pode ser descrito como:

Percebeu aí que o problema não deu o peso por unidade de comprimento e sim a massa, por isso eu multipliquei pela gravidade, cuidado com isso, as vezes aparece.

Passo 2

Nós notamos que na figura do problema, é o ponto mais baixo do cabo, vamos pegar a segunda derivada da equação do cabo, logo:

Se nós consideramos , então , logo:

E integrando isso:

Vamos encontrar , pra isso a gente usa a condição inicial, de que na origem, e então:

Logo é igual a .

Ficamos com:

Agora, vamos dar uma ajeitada e tentar simplicar isso, calma, eu sei que parece muito estranho:

Agora lembra que , aí ficamos com:

Integramos mais uma vez para chegarmos na função não derivada:

Testando a equação na condição inicial, onde e , encontramos que:

Logo, ficamos com:

Passo 3

Tá quase acabando, vamos agora pegar o diagrama do corpo livre, assim:

E usamos as equações de equilíbrio nos dois eixos:

Eliminando , temos:

Passo 4

Então igualamos a equação derivada:

Assim encontramos:

Substitumos o por , e já sabemos que o comprimento é :

Logo, achamos por tentativa e erro que:

E substituímos na função que já tínhamos encontrado:

Passo 5

Agora, para achamos a tração máxima, a gente sabe que ela ocorre no maior ângulo, e visualmente percebemos que são nos pontos e , então podemos usar qualquer um.

Lembramos que a derivada é a tangente de um ângulo, logo: