Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Hibbeler - Estática- Ed: 14º - Capítulo 7.Problemas - Ex. 112
O cabo se romperá quando a tração máxima alcançar . Determine a flecha mínima se ele suporta a carga distribuída uniforme de .
Passo 1
E aí Pessoal, tudo bem? Vamos dar início a mais uma questão juntos!
Queremos determinar a flecha mínima se o cabo suporta uma carga uniforme .
A flecha mínima ocorrerá quando a tração no cabo for a máxima.
Para que a gente possa determinar esta incógnita, precisamos determinar a equação da curva que define o cabo. E para isto, temos que resolver a seguinte integral:
Sendo o carregamento aplicado na corda. Portanto, a nossa equação será:
Passo 2
Agora que obtivemos a equação da curvatura da corda, devemos aplicar as condições de contorno para descobrir as incógnitas , e .
Vamos fixar o sistema de coordenadas no ponto mais baixo do cabo, que está exatamente no meio do cabo. Aqui, temos as seguintes condições de contorno: , e . Aplicando a primeira, temos:
Já aplicando a segunda, obtemos:
Por fim, aplicando a terceira condição, temos:
Portanto, a equação da corda é:
Passo 3
Bom, apesar de termos determinado várias incógnitas, ainda não determinamos quem é a flecha mínima .
Mas calma que já estamos lá! A flecha mínima ocorrerá quando a tração for máxima. E, como sabemos, a máxima tração no cabo ocorrerá no ponto em que ele tiver a maior inclinação. Isto é, o ponto em que for máximo.
Para esta questão, como , então, a inclinação será máxima nas extremidades, em .
Escolhendo , teremos:
E logo,
Por fim, como a tração máxima nos já conhecemos, e ela é calculada , então, basta substituirmos os valores de cada incógnita para descobrir quem é a flecha . Logo,
E assim finalizamos a questão!