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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.6 - Ex. 141

Cada uma das duas dobradiças em A e B , da tampa uniforme de massa m da caixa de brinquedos de uma criança, contém uma mola de torção que exerce um momento resistente M = K θ sobre a tampa enquanto está sendo fechada. (a) Especifique a rigideza à torção K de cada mola que resultará em velocidade angular nula da tampa, no instante em que atinge a posição horizontal fechada ( θ = π / 2   ) , quando é liberada a partir do repouso em θ = 0 . (b) Qual seria a aceleração angular α da tampa, quando liberada a partir do repouso na posição fechada?

Passo 1

A vista frontal do conjunto caixa de brinquedos e tampa está presente abaixo.

Sabemos que a relação trabalho-energia é dada por

U 1 - 2 = ∆ T

Que também pode ser escrita expressando os efeitos do peso e mola por meio da energia potencial, de forma que

U 1 - 2 ' = ∆ T + ∆ V g + ∆ V e

Note que em θ 1 = 0 e em θ 2 = π 2 , w 1 = w 2 = 0 .

Passo 2

A variação da energia potencial é dada pela parcela gravitacional e elástica

∆ V g = m g ∆ h

∆ V e = ∫ 0 x k x d x

Para a energia gravitacional, temos

∆ V g = m g - l 2  

∆ V g =   - m g l 2

Para a parcela elástica

∆ V e = 2 ∫ 0 π 2 M d θ = 2 ∫ 0 π 2 k θ d θ

∆ V e = 2 . k θ 2 2 0 π 2

∆ V e = k π 2 4

Passo 3

Como o trabalho da força peso está expresso por ∆ V g e as velocidades w 1 = w 2 = 0 , temos U 1 - 2 ' = ∆ T = 0 .

Retomando a equação que relaciona trabalho e energia, ficamos com

0 = 0 - m g l 2 + k π 2 4

Isolando k , achamos

k = 2 m g l π 2

Passo 4

Sabemos que

∑ M o = I - α

No somatório de momentos devemos considerar o momento da força peso e o momento resistente M , ficando com

2 m g l π 2 π - m g l 2 = 1 3 m l 2 α

Isolando α , temos

α =   0,41 g l

Resposta

k = 2 m g l π 2

α =   0,41 g l

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