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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 112

O topo mostrado é suportado no Ponto fixo 0 e seus momentos de inércia em torno de seu eixo de simetria e em torno de um eixo transversal em 0 são denotados, respectivamente, por I  e  I ' . (a) Mostre que a condição para precessão constante do topo é

I ω z - I ' ϕ ˙ c o s ⁡ θ ϕ ˙ = W c

onde ϕ ˙ é a taxa de precessão e ω 2 , é o componente retangular da velocidade angular ao longo do eixo de simetria do topo. (b) Mostre que se a taxa de spin ψ ˙ do topo for muito grande comparada com sua taxa de precessão ϕ ˙ , a condição para precessão estável é I ψ ˙ ϕ = W C . (c) Determine o erro percentual introduzido quando esta última relação é usada para aproximar a mais lenta das duas taxas de precessão obtidas para o topo do Problema. 18.111.

Passo 1

O exercício pede que a gente determine o erro percentual introduzido quando esta última relação é usada para aproximar a mais lenta das duas taxas de precessão obtidas para o topo do Problema. 18.111.

Use eixos principais x, y, z com origem em O

ω = φ ˙ s i n ⁡ θ i + ( ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ ) k

ω x = φ ^ s i n ⁡ θ , ω y , = 0 , ω 2 ≅ ψ ˙ + φ ˙ c o s ⁡ θ

Momento angular sobre B

H O = I x ω x i + I y ω y j + l z ω z k = I ' φ ˙ s i n ⁡ θ i + I ω z k

Passo 2

Deixe o quadro referência Oxyz rodar com velocidade angular Ω = φ ˙ s i n ⁡ θ i + φ ˙ c o s ⁡ θ k

H ˙ O = Ω × H O

= ( φ ˙ s i n ⁡ θ i + φ ˙ c o s ⁡ θ k ) × I ' φ ˙ s i n ⁡ θ + I ω 2 k = I ' φ ˙ s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ - I ω z s i n ⁡ θ φ ˙ j ˙

Σ M O = H ˙ O

- W c s i n ⁡ θ j = l ' φ ˙ s i n ⁡ θ c o s ⁡ θ - J ω z s i n ⁡ θ j

Passo 3

Consideramos as seguintes equações :D

W c = I ω z - I ' φ ˙ c o s ⁡ θ φ ˙

W c = I ψ ˙ - I ' - I φ ˙ c o s ⁡ θ φ ˙ (1)

para  | φ ˙ | ≪ ψ ˙ W C = 1 ψ ˙ φ ˙ (2)

Passo 4

Os dados do enunciado está abaixo 😉

m = 85 g = 0.085 k g W = m g = ( 0.085 ) ( 9.81 ) = 0.83385 N

I = m k z 2 = ( 0.085 ) ( 0.021 ) 2 = 37.485 × 10 - 6 k g ⋅ m 2 I = m k x 2 = ( 0.085 ) ( 0.045 ) 2 = 172.125 × 10 - 6 k g ⋅ m 2

c = 37.5 m m = 0.0375 m , ψ ˙ = 1800 r p m = 188.496 r a d / s θ = 30 ∘

Passo 5

Substituindo em Eq (1)

( 0.83385 ) ( 0.0375 ) = 37.485 × 10 - 6 ( 188.496 ) - 134.64 × 10 - 6 φ ˙ c o s ⁡ 30 ∘ φ ˙

116.602 × 10 - 6 φ ˙ 2 - 7.0658 × 10 - 3 φ ˙ + 31.269 × 10 - 3 = 0

φ ˙ = 30.299 ± 25.492 φ ˙ = 4.807 r a d / s , 55.79 l r a d / s

Da Eq (2)

φ ˙ = W c I ψ = ( 0.83385 ) ( 0.0375 ) 37.485 × 10 - 6 ( 188.496 ) = 4.425 r a d / s

%  erro  = 4.425 - 4.807 4.807 × 100 %

%  erro  = - 7.95 %

Resposta

a W c = I ω z - I ' φ ˙ c o s ⁡ θ φ ˙

(b) W C = I ψ ˙ φ ˙

(c)   %  erro  = - 7.95 %

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