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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 18.Problemas - Ex. 98

Um disco homogêneo de peso W = 6 lb gira a uma taxa constante ω 1 = 16 r a d / s em relação ao braço ABC, que é soldado a um eixo DCE girando a uma taxa constante ω 2 = 8 r a d / s . Determine as reações dinâmicas em D e E.

Passo 1

Velocidade angular da haste DE e do braço CBA Ω = a 2 i

Velocidade angular do disco A ω = ω 2 i + ω 1 j

Velocidade angular sobre o centro de massa A

H A = I - x ω x i + I - y ω y j + I - z ω z k = I - x ω 2 i + I - y ω 1 j = 1 4 m r 2 ω 2 i + I 2 m r 2 ω } j

Deixe o quadro de referência Oxyz girar com velocidade angular Ω = ω 2 i

H ˙ A = H ˙ A O x y z + Ω × H A = 1 4 m r 2 ω ˙ 2 i + 1 2 m r 2 ω ˙ 1 j + ω 2 i × H A

= 1 4 m r 2 ω ˙ 2 i + 1 2 m r 2 ω ˙ 1 j + 1 2 m r 2 ω 1 ω 2 k

Passo 2

Velocidade no ponto A

v A = ω 2 i × r A / O

= ω 2 i × ( - b k + c j ) = b ω 2 j + c ω 2 k

Aceleração no ponto A

a A = a ˙ 2 j × r A / + ω 2 j × v A a A = b ω ˙ 2 - c ω 2 2 j + c ω ˙ 2 + b ω 2 k

Considere o sistema de partículas consistindo na haste, no braço e no disco. Negligencia a massa do braço

Σ F = m a A

D y j + D z k + E y j + E z k = m a A

Passo 3

Resolva nos componentes

D y + E y = m b ω ˙ 2 - c ω 2 2 D z + E z = m c ω ˙ 2 + b ω 2 2

∑ M D = H D = H ˙ A + r A / D × m a A

M 0 i + 2 l i × E y j + E z k = H ˙ A + ( l i + c j - b k ) × m a A

M 0 i - 2 l E z j + 2 l E y k = m 1 4 r 2 + b 2 + c 2 ω ˙ 2 i + m 1 2 r 2 ω ˙ 1 - l c ω ˙ 2 - l b ω 2 2 j

+ m 1 2 r 2 ω 1 ω 2 + l b ω ˙ 2 - l c ω 2 2 k

i:  M 0 = m 1 4 r 2 + b 2 + c 2 ω ˙ 2

  k :   E y = m 2 l 1 2 r 2 ω 1 ω 2 + l b ω ˙ 2 - l c ω 2 2             D y = m 2 l - 1 2 r 2 ω 1 ω 2 + l b ω ˙ 2 - l c ω 2 2

j :     E z = m 2 l l c ω ˙ 2 + l b ω 2 2 - 1 2 r 2 ω ˙ 1 D z = m 2 l l c ω ˙ 2 + l b ω 2 2 + 1 2 r 2 ω ˙ 1

Passo 4

Dados

W = 6   b .   m = 6 32.2 = 0.186335 r = 8 i n . = 0.66667 f t b = c = 9 i n , = 0.75 f t l = 12 i n = 1.0 t t ω 1 = 16 r a d / s , ω ˙ 1 = 0 , ω 2 = 8 r a d / s , ω ˙ 2 = 0

D y = 0.186335 ( 2 ) ( 1.0 ) - 1 2 ( 0.66667 ) 2 ( 16 ) ( 8 ) + 0 - ( 1.0 ) ( 0.75 ) ( 8 ) 2 = - 7.12 l b D z = 0.186335 ( 2 ) ( 1.0 ) 0 + ( 1.0 ) ( 0.75 ) ( 8 ) 2 + 0 = 4.47 l b

D = - ( 7.121 b ) j + ( 4.47 l b ) k

E y = 0.186335 ( 2 ) ( 1.0 ) 1 2 ( 0.66667 ) 2 ( 16 ) ( 8 ) + 0 - ( 1.0 ) ( 0.75 ) ( 8 ) 2 = - 1.822 l b E 2 = 0.186335 ( 2 ) ( 1.0 ) 0 + ( 1.0 ) ( 0.75 ) ( 8 ) 2 + 0 = 4.47 l b

E = - ( 1.8221 b ) j + ( 4.47 k b ) k

Resposta

D = - ( 7.121 b ) j + ( 4.47 l b ) k

E = - ( 1.8221 b ) j + ( 4.47 k b ) k

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