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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 3.10 - Ex. 238

Cada uma das quatro esferas de massa m é tratada como uma partícula. As esferas A e B são montadas em uma haste leve e estão inicialmente girando com uma velocidade angular ω 0 em tordo de um eixo vertical que passa através de O . As esferas C e D também são montadas em uma haste leve que gira independentemente em torno de O e está inicialmente em repouso. O conjunto A B entra em contato com C D onde ranhuras em A e B permitem o acoplamento com C D na posição tracejada indicada. Ambas as unidades em seguida giram com uma velocidade angular comum ω . A resistência por atrito é desprezível. Determine expressões para ω e a percentagem de perda n de energia cinética.

Passo 1

Bom galera, nesse exercício queremos determinar ω e a percentagem de perda de energia cinética. Para o sistema, sabemos que

∑ M 0 = H O ˙ = 0

Dessa forma, o momento angular se conserva.

Passo 2

Como o momento angular se conserva, podemos escrever H O 1 = H O 2

Substituindo a definição que diz H O = m r v = m r 2 ω , temos

2 m r 2 ω 0 + 0 = 2 m r 2 ω + 2 m 2 r 2 ω

Isolando ω , temos

ω = ω 0 5

Passo 3

Perda de energia: Δ Q = T 1 - T 2

Δ Q pode ser dado por

Δ Q = 2 1 2 m r 2 ω 0 2 - 2 1 2 m r 2 ω 2 + 2 1 2 m 2 r 2 ω 2

Substituindo o valor de ω encontrado, temos

Δ Q = m r 2 ω 0 2 - m r 2 5 ω 0 5 2 + 4 5 m r 2 ω 0 2  

Por definição, n = Δ Q T 1 . Substituindo, temos

n = Δ Q T 1 100 % = 4 5 m r 2 ω 0 2 2 1 2 m r 2 ω 0 2 100 % = 80 %

Resposta

ω = ω 0 5

n = 80 %

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