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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 12.Problemas - Ex. 17

As caixas A e B estão paradas em uma esteira que está inicialmente em repouso. A correia é repentinamente iniciada em uma direção para cima de modo que o deslizamento ocorra entre a correia e as caixas. Sabendo que os coeficientes de atrito cinético entre a correia e as caixas são ( μ k ) A 0,30 e ( μ k ) B = 0,32, determine a aceleração inicial de cada caixa

Passo 1

Assuma que a B > a A de modo que a força Normal N A B entre as caixas seja 0

A : + ∣ Σ F y = 0 : N A - W A c o s ⁡ 15 ∘ = 0 o u                                   N A = W A c o s ⁡ 15 ∘

Deslizando: F A = μ k A N A = 0.3 W A c o s ⁡ 15 ∘ + Σ F x = m A a A : F A - W A s i n ⁡ 15 ∘ = m A a A

+ ∠ Σ F x = m A a A : F A - W A s i n ⁡ 15 ∘ = m A a A

Passo 2

Ou 0.3 W A c o s ⁡ 15 ∘ - W A s i n ⁡ 15 ∘ = W A g a A a A = 9.81   m / s 2 0.3 c o s ⁡ 15 ∘ - s i n ⁡ 15 ∘ = 0 . 304   m / s 2

Ou B : + ∣ Σ F y = 0 : N B - W B c o s ⁡ 15 ∘ = 0 N B = W B c o s ⁡ 15 ∘

Deslizando: F B = μ k B N B = 0.32 W B c o s ⁡ 15 ∘

Passo 3

+ ↑ ' Σ F x = m B a B : F B - W B s i n ⁡ 15 ∘ = m B a B o u             0.32 W B c o s ⁡ 15 ∘ - W B s i n ⁡ 15 ∘ = W B g a B

a B = 9.81 m s 2 0.32 cos ⁡ 15 ∘ - sin ⁡ 15 ∘ = 0.493   m / s 2 a B > a A ⇒   s u p o s i ç ã o   e s t á   c o r r e t a

a A = 0.304   m / s 2                   15 ∘ a B = 0.493   m / s 2                     15 ∘

Passo 4

Nota: se for assumido que as caixas permanecem em contato N A B ≠ 0 , então:

a A = a B    encontra-se  Σ F x = m a

A : 0.3 W A c o s ⁡ 15 ∘ - W A s i n ⁡ 15 ∘ - N A B = W A g α

B : 0.32 W B c o s ⁡ 15 ∘ - W B s i n ⁡ 15 ∘ + N A B = W B g a

Somando A e B:

0.3 W A + 0.32 W B cos ⁡ 15 ° - W A + W B sin ⁡ 15 ° = W A g + W B g a

0.3 50 × 9.81 + 0.32 40 × 9.81 cos ⁡ 15 ° -

50 × 9.81 + 40 × 9.81 sin ⁡ 15 ° = 50 + 40 a

a = 0.388   m / s 2

Substituindo em A:

0.3 W A c o s ⁡ 15 ∘ - W A s i n ⁡ 15 ∘ - N A B = W A g α

0.3 50 × 9.81 cos ⁡ 15 ∘ - 50 × 9.81 sin ⁡ 15 ∘ - N A B = 50 × 0.388

N A B = - 4.215   N

Resolvendo: a = 0.388   m / s 2  and  N A B = - 4.215   N , o que contradiz a suposição.

Resposta

a A = 0.304   m / s 2                   15 ∘

a B = 0.493   m / s 2                     15 ∘

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