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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Dinâmica- Ed: 9º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 32

A velocidade de um cursor é definida pela relação v = v ' s e n   x   ( ω n t + ∅ ) . Representando a velocidade e a posição do cursor em t = 0   p o r   v 0   e   x 0 , respectivamente, e sabendo que e o deslocamento máximo do cursor é 2 x 0 , mostre que (a) v ' = ( v 0 2 + x 0 2 ω n 2 ) / 2 x 0 ω n , (b) o valor máximo da velocidade ocorre quando x = x 0 [ 3 - v 0 / x 0 ω n ) ² ] / 2 .

Passo 1

E ai gurizada tudo certo? Vamos a mais uma questão de resmat :D, o enunciado pede que a gente mostre que (a) v ' = ( v 0 2 + x 0 2 ω n 2 ) / 2 x 0 ω n , (b) o valor máximo da velocidade ocorre quando x = x 0 [ 3 - v 0 / x 0 ω n ) ² ] / 2 .

Em: t = 0 ,   v = v 0 :   v 0 = v ' s e n   x   0 + ∅ = v ' s e n ∅

Então: c o s ∅ = v ' 2 - v 0 2 / v '

Agora: d x d t = v = v ' s e n   x   ( ω n t + ∅ )

Em: t = 0 ,   x = x 0 : ∫ x 0 x d x = ∫ 0 t v ' s e n   x   ω n t + ∅ d t

Ou x - x 0 = v ' - 1 ω n cos x ⁡   ( ω n t + ∅ ) 0 t

Ou x - x 0 + v ' ω n   x   cos ∅ - cos ⁡ x   ( ω n t + ∅ )

Como observar isso x m a x ocorre quando cos ⁡ x   ω n t + ∅ = - 1 .   Então:

x m a x = 2 x 0 = x 0 + v ' ω n   x   c o s ∅ - - 1

Substituindo por c o s   ∅ x 0 = v ' ω n   x   v ' 2 - v 0 2 v 1 + 1

Ou x 0 ω n - v ¹ = v ' 2 - v 0 2

Quadrando ambos os lados desta equação

x 0 2 ω n 2 - 2 x 0 ω n + v ' 2 = v ' 2 - v 0 2

Ou v ' = v 0 2 + x 0 2 ω n 2 2 x 0 ω n

Passo 2

Primeiro observe que v m a x ocorre quando ω n t + ∅ = π 2 . O valor correspondente de x é:

x v m a x = x 0 + v ' ω n   x   c o s ∅ - cos ⁡ x   π 2 = x 0 + v ' ω n c o s ∅

Substituindo primeiro por c o s ∅ e então para v ' .

x v m a x = x 0 + v ' ω n   v ' 2 - v 0 2 v ' = x 0 + 1 ω n   v 0 2 + x 0 2 ω n 2 2 x 0 ω n - v 0 2 1 / 2

= x 0 + 1 2 x 0 ω n 2   v 0 4 + 2 v 0 2 x 0 2 ω n 2 + x 0 4 ω n 4 - 4 x 0 2 ω n 2 v 0 2 1 / 2   = x 0 + 1 2 x 0 ω n 2   x   [ x 0 2 ω n 2 - v 0 2 2 ] 1 / 2

= x 0 +   x 0 2 ω n 2 - v 0 2 2 x 0 ω n 2 = x 0 2   x   3 - v 0 x 0 ω n 2

Resposta

  1. Q.E.D
  2. x 0 2   x   3 - v 0 x 0 ω n 2
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