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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Estática Volume 1 - 7ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 7º - Capítulo 4.Problemas - Ex. 22

Uma carga devida a neve transfere as forças mostradas aos nós superiores de um telhado na forma de treliça Pratt. Despreze quaisquer reações horizontais nos apoios e determine as forças em todos os elementos.

Passo 1

Primeiro devemos analisar as força externas que atuam na treliça. Como ela é simétrica, as reações em A e E devem ser iguais e devem anular as forças externas verticais aplicadas. Então as forças pra cima nesses dois pontos são:

A = E = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 2 = 2,5   k N

Passo 2

Agora, vamos resolver as equações de equilíbrio em x e y   para cada nó, começando da esquerda. As forças positivas indicam tração e as negativas compressão, e sempre trataremos as forças desconhecidas como tração. Vamos primeiro analisar os ângulos que temos no problema:

Podemos ver claramente que α = 45 ° . Por semelhança entre os triângulos A B H e A C G :

B H - 2 = 2 4 ⇒ B H - = 1   m

Então por Pitágoras:

A B - = A H - 2 + B H - 2 = 2 2 + 1 2 = 5

Então:

sen ⁡ θ = 1 5

cos ⁡ θ = 2 5

Agora vamos às equações de equilíbrio para cada nó.

Passo 3

Nó A:

∑ F x = 0 ⇒ A H + A B cos ⁡ θ = 0 ⇒ A H = - 2 A B 5

∑ F y = 0 ⇒ - 1 + 2,5 + A B sen ⁡ θ = 0

⇒ A B sen ⁡ θ = - 1,5 ⇒ A B = - 1,5 sen ⁡ θ = - 1,5 1 5 = - 1,5 5

⇒ A B = - 3,35   k N   ( C )

Agora voltamos para a equação anterior e achamos A H :

⇒ A H = - 2 5 - 1,5 5 = 3,00   k N   ( T )

Por simetria, obtemos também:

D E = A B = - 3,35   k N   ( C )

E F = A H = 3,00   k N   ( T )

Passo 4

Nó B:

∑ F x = 0 ⇒ - A B cos ⁡ θ + B C cos ⁡ θ = 0

Dividindo tudo por cos ⁡ θ , obtemos:

- A B + B C = 0 ⇒ B C = A B = - 1,5 5 = - 3,35   k N   ( C )

∑ F y = 0 ⇒ - 1 - B H - A B sen ⁡ θ + B C sen ⁡ θ = 0

Substituindo os valores:

⇒ - 1 - B H - - 1,5 5 ⋅ 1 5 + - 1,5 5 ⋅ 1 5 = 0 ⇒ B H = - 1,00 + 1,5 - 1,5

⇒ B H = - 1,00   k N   ( C )

Por simetria, temos também:

C D = B C = - 3,35   k N   ( C )

D F = B H = - 1,00   k N   ( C )

Passo 5

Nó H:

∑ F x = 0 ⇒ - A H + C H cos ⁡ 45 ° + G H = 0

Substituindo o cosseno e isolando G H :

⇒ G H = 3 - 2 2 C H

∑ F y = 0 ⇒ B H + C H sen ⁡ 45 ° = 0 ⇒ C H = - B H sen ⁡ 45 °

Substituindo o seno, temos:

C H = - - 1 2 2 ⇒ C H = 2 = 1,41   k N   ( T )

Agora achamos G H :

⇒ G H = 3 - 2 2 ⋅ 2 ⇒ G H = 2,00   k N   ( T )

Por simetria, temos também:

C F = C H = 1,41   k N   ( T )

F G = G H = 2,00   k N   ( T )

E finalmente, analisando o nó G , vemos que nenhuma força é capaz de anular uma tração ou compressão vertical gerada por C G nesse ponto, então:

C G = 0

Resposta

D E = A B = 3,35   k N   ( C )

E F = A H = 3,00   k N   ( T )

C D = B C = 3,35   k N   ( C )

D F = B H = 1,00   k N   ( C )

C F = C H = 1,41   k N   ( T )

F G = G H = 2,00   k N   ( T )

C G = 0

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10 Determine a força em cada elemento da treliça de telhado mostrada na figura. Indique se cada elemento está sob tração ou sob compressão.
Determine a força em cada elemento da treliça de telhado Pratt mostrada na figura. Indique se cada elemento está sob tração ou sob compressão.
Determine a força em cada elemento da treliça de telhado Gambrel mostrada na figura. Indique se cada elemento está sob tração ou sob compressão.
Dois elementos, cada qual consistindo em uma parte reta e um quarto de círculo, são unidos tal como mostra a figura e sustentam uma carga de 340N em A . Determine as forças internas ao ponto J .
Determine a força no elemento DE e em cada um dos elementos localizados à esquerda de DE para a treliça de telhado tipo Howe invertida mostrada na figura. Indique se cada elemento está sob tração ou s