Uma carga devida a neve transfere as forças mostradas aos nós superiores de um telhado na forma de treliça Pratt. Despreze quaisquer reações horizontais nos apoios e determine as forças em todos os elementos.

Passo 1

Primeiro devemos analisar as força externas que atuam na treliça. Como ela é simétrica, as reações em A e E devem ser iguais e devem anular as forças externas verticais aplicadas. Então as forças pra cima nesses dois pontos são:

A = E = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 2 = 2,5   k N

Passo 2

Agora, vamos resolver as equações de equilíbrio em x e y   para cada nó, começando da esquerda. As forças positivas indicam tração e as negativas compressão, e sempre trataremos as forças desconhecidas como tração. Vamos primeiro analisar os ângulos que temos no problema:

Podemos ver claramente que α = 45 ° . Por semelhança entre os triângulos A B H e A C G :

B H - 2 = 2 4 ⇒ B H - = 1   m

Então por Pitágoras:

A B - = A H - 2 + B H - 2 = 2 2 + 1 2 = 5

Então:

sen ⁡ θ = 1 5

cos ⁡ θ = 2 5

Agora vamos às equações de equilíbrio para cada nó.

Passo 3

Nó A:

∑ F x = 0 ⇒ A H + A B cos ⁡ θ = 0 ⇒ A H = - 2 A B 5

∑ F y = 0 ⇒ - 1 + 2,5 + A B sen ⁡ θ = 0

⇒ A B sen ⁡ θ = - 1,5 ⇒ A B = - 1,5 sen ⁡ θ = - 1,5 1 5 = - 1,5 5

⇒ A B = - 3,35   k N   ( C )

Agora voltamos para a equação anterior e achamos A H :

⇒ A H = - 2 5 - 1,5 5 = 3,00   k N   ( T )

Por simetria, obtemos também:

D E = A B = - 3,35   k N   ( C )

E F = A H = 3,00   k N   ( T )

Passo 4

Nó B:

∑ F x = 0 ⇒ - A B cos ⁡ θ + B C cos ⁡ θ = 0

Dividindo tudo por cos ⁡ θ , obtemos:

- A B + B C = 0 ⇒ B C = A B = - 1,5 5 = - 3,35   k N   ( C )

∑ F y = 0 ⇒ - 1 - B H - A B sen ⁡ θ + B C sen ⁡ θ = 0

Substituindo os valores:

⇒ - 1 - B H - - 1,5 5 ⋅ 1 5 + - 1,5 5 ⋅ 1 5 = 0 ⇒ B H = - 1,00 + 1,5 - 1,5

⇒ B H = - 1,00   k N   ( C )

Por simetria, temos também:

C D = B C = - 3,35   k N   ( C )

D F = B H = - 1,00   k N   ( C )

Passo 5

Nó H:

∑ F x = 0 ⇒ - A H + C H cos ⁡ 45 ° + G H = 0

Substituindo o cosseno e isolando G H :

⇒ G H = 3 - 2 2 C H

∑ F y = 0 ⇒ B H + C H sen ⁡ 45 ° = 0 ⇒ C H = - B H sen ⁡ 45 °

Substituindo o seno, temos:

C H = - - 1 2 2 ⇒ C H = 2 = 1,41   k N   ( T )

Agora achamos G H :

⇒ G H = 3 - 2 2 ⋅ 2 ⇒ G H = 2,00   k N   ( T )

Por simetria, temos também:

C F = C H = 1,41   k N   ( T )

F G = G H = 2,00   k N   ( T )

E finalmente, analisando o nó G , vemos que nenhuma força é capaz de anular uma tração ou compressão vertical gerada por C G nesse ponto, então:

C G = 0

Resposta

D E = A B = 3,35   k N   ( C )

E F = A H = 3,00   k N   ( T )

C D = B C = 3,35   k N   ( C )

D F = B H = 1,00   k N   ( C )

C F = C H = 1,41   k N   ( T )

F G = G H = 2,00   k N   ( T )

C G = 0

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