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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 6.7 - Ex. 160

A carga de massa m recebe uma aceleração constante ascendente a pela aplicação das forças P , a partir de sua posição de repouso apoiada nos suportes. Despreze a massa das hastes em comparação com m e determine a aceleração inicial a .

Passo 1

A altura y entre os roletes e a carga é dada por

y = 5 b s e n θ 2

Derivando essa expressão em relação a t , obtemos y ˙ , que é a velocidade vertical.

d y d t = y ˙ = 5 2 b θ ˙ c o s θ 2

Se derivarmos novamente com relação a t , encontramos a aceleração

d y ˙ d t = y ¨ = 5 2 b θ ¨ c o s θ 2 ⁡ - 5 4 b θ ˙ ² s e n θ 2

Para θ ˙ = 0 (condição de repouso), temos que

a =   - 5 2 b θ ¨ c o s θ 2

Passo 2

Sabemos que para um intervalo infinitesimal de movimento, a relação Trabalho-Energia é dada por

d U ' = d T + d V g

Onde

d U ' = 2 P   d x = 2 P   d b c o s θ 2 =   - P b s e n θ 2   d θ  

A variação diferencial da energia cinética é dada por

d T = d 1 2 m v ² = m v d v

Mas sabemos que v d v = a d s , sendo neste caso d s = - d y :

d T = - m a d y = - 5 2 m a b c o s θ 2 d θ  

Para a energia potencial gravitacional, temos

d V g = d m g h = d - m g 5 b s e n θ 2 = - 5 2 m g b c o s θ 2 d θ

Passo 3

Retomando a primera equação do Passo 1 e substituindo as expressões encontradas, ficamos com

- P b s e n θ 2   d θ = - 5 2 m a b c o s θ 2 d θ   - 5 2 m g b c o s θ 2 d θ

Simplificando, temos

P s e n θ 2   = 5 2 m c o s θ 2 a + g

Resolvendo para a , obtemos

a = 2 P 5 m t a n θ 2 - g

Resposta

a = 2 P 5 m t a n θ 2 - g

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