Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.9 - Ex. 229
Se a carga tem uma velocidade para baixo , determine a componente ascendente da velocidade de em termos de , do comprimento da haste e do ângulo . Suponha que o cabo que suporta permanece vertical.
Passo 1
Bom pessoal, questões como essa são mais geométricas do que parecem! Evite pensar demais sobre a física, e vamos logo escrever as relações matemáticas que existem aí.
Primeira coisa a fazer: quem é a velocidade vertical de ?
Beleza, a velocidade de é a derivada temporal (o ponto representa a derivada em relaçãoa o tempo!) da coordenada . E geometricamente podemos dizer o seguinte:
E então:
E como o comprimento da haste não muda, podemos afirmar que , então:
Passo 2
Ok, e a velocidade de , está relacionada com qual grandeza geométrica ali? O comprimento da corda que une a haste à roldana:
Lembre de ajustar o sinal, porque quando diminui rapidamente, a velocidade aumenta!
Vamos escrever isso em termos de , usando a lei dos cossenos no ângulo oposto a :
Mas esse ângulo é o suplementar de (soma com ele), então:
Beleza, então ficamos com o seguinte:
E agora podemos derivar isso em relação ao tempo para encontrar a velocidade :
E aplicando a regra da cadeia:
E como
Excelente, vamos em frente.
Passo 3
Agora temos duas equações bem interessantes:
Vamos isolar nas duas equações:
E então a velocidade vertical de é:
Agora falta sumir com esse aí, afinal de conta nós inventamos ele, não podemos deixá-lo na reposta. Usando a equação que escrevemos para ele lá em cima:
Agora é só arrumar um pouco:
Pronto!
Resposta
A componente é .