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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 2.9 - Ex. 229

Se a carga B tem uma velocidade para baixo v B , determine a componente ascendente v A y da velocidade de A em termos de b , do comprimento da haste l e do ângulo θ . Suponha que o cabo que suporta A permanece vertical.

Passo 1

Bom pessoal, questões como essa são mais geométricas do que parecem! Evite pensar demais sobre a física, e vamos logo escrever as relações matemáticas que existem aí.

Primeira coisa a fazer: quem é a velocidade vertical v A y de A ?

v A y = y ˙

Beleza, a velocidade de A é a derivada temporal (o ponto representa a derivada em relaçãoa o tempo!) da coordenada y . E geometricamente podemos dizer o seguinte:

y = l sen ⁡ θ  

E então:

y ˙ = l ˙ sen ⁡ θ + l θ ˙ cos ⁡ θ  

E como o comprimento l da haste não muda, podemos afirmar que l ˙ = 0 , então:

y ˙ = v A y = l θ ˙ cos ⁡ θ

Passo 2

Ok, e a velocidade de B , está relacionada com qual grandeza geométrica ali? O comprimento s da corda que une a haste à roldana:

v B = - s ˙

Lembre de ajustar o sinal, porque quando s diminui rapidamente, a velocidade b aumenta!

Vamos escrever isso em termos de b , usando a lei dos cossenos no ângulo α oposto a s :

s 2 = b 2 + b 2 - 2 b b cos ⁡ α

s 2 = 2 b 2 - 2 b 2 c o s α

Mas esse ângulo α é o suplementar de θ (soma π com ele), então:

cos ⁡ α = cos ⁡ π - θ = cos ⁡ π cos ⁡ θ + sen ⁡ ( π ) sen ⁡ ( θ ) = - c o s ⁡ ( θ )

Beleza, então ficamos com o seguinte:

s 2 = 2 b 2 + 2 b 2 c o s ⁡ ( θ )

E agora podemos derivar isso em relação ao tempo para encontrar a velocidade v B :

d d t s 2 = d d t 2 b 2 + d d t 2 b 2 cos ⁡ θ

E aplicando a regra da cadeia:

d s 2 d s d s d t = 0 + 2 b 2 d c o s θ d θ d θ d t

2 s s ˙ = - 2 b 2 θ ˙ sen ⁡ θ

E como s ˙ = - v B

s v B = b 2 θ ˙ sen ⁡ θ

Excelente, vamos em frente.

Passo 3

Agora temos duas equações bem interessantes:

s v B = b 2 θ ˙ sen ⁡ θ

v A y = l θ ˙ cos ⁡ θ

Vamos isolar θ ˙ nas duas equações:

θ ˙ = v A y l   . cos ⁡ θ = s v B b 2 sen ⁡ θ

E então a velocidade vertical de A é:

v A y = s v B l . cos ⁡ θ b 2 sen ⁡ θ = s v B l b 2 1 t a n ⁡ ( θ )

Agora falta sumir com esse s aí, afinal de conta nós inventamos ele, não podemos deixá-lo na reposta. Usando a equação que escrevemos para ele lá em cima:

v A y = 2 b 2 + 2 b 2 c o s ⁡ ( θ ) v B l b 2 1 t a n ⁡ ( θ )

Agora é só arrumar um pouco:

v A y = 2 b 1 + cos ⁡ θ v B l b 2 1 t a n ⁡ ( θ )

v A y = l 2 1 + cos ⁡ θ b   t a n ⁡ θ   v B

Pronto!

Resposta

A componente v A y é l 2 1 + cos ⁡ θ b   t a n ⁡ θ   v B .

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